Oral Mines

Bonsoir, pouvez vous m'aider sur cet exo sur lequel je bloque?
Soient Ai points de Rn (i=0 à n) tels que dist(Ai,Aj)=1, montrer que
(vect(AoAi)) libre...où vect(AoAi) est le vecteur AoAi...
J ai tenté en récurrence sur la dimension n, en vain
PAr l'absurde, pas évident...

Réponses

  • appelle $v_i$ le vecteur unitaire $A_0A_i$, $i \geq 1$. Alors $d(A_i, A_j)^2=(v_i-v_j|v_i-v_j)=|v_i|^2-2(v_i|v_j)+|v_j|^2=1$, si $i \neq j$. Donc $(v_i|v_j)=\frac{1}{2}$ si $i \neq j$. Si tu appelles $M$ la matrice dont les colonnes sont les $v_i$, qu'obtiens-tu pour $MM^t$ ?
  • euh rien de très concluant!
  • Joli, alekk !
    Je n'aurais jamais pensé au déterminant de Gram.
  • on peut aussi se demander (pas dure) si c'est $n+1$ points existent toujours dans $\mathbb{R}^n$ car on vient de montrer qu'il y en a au plus $n+1$ :)
  • Après calcul, ca ne serait pas plutôt $ ^{t}MM$ à considérer?

    Sinon pour aider léo:

    tu peux montrer que $rg(M)=rg(^{t}MM)$ puis remarquer que $ ^{t}MM$ ( ou $ MM^{t}$ comme le disait alekk) peut s'écrire comme la matrice: $ G= ( (v_{i}|v_{j}) )_{i,j}$
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