Série de fonction

Madec0

Bonjour ,

Un petit exo d'analyse sur lequel je séche :

soit la série de terme général :

$U_n=\int_{0}^{\pi/2} (Ln(cos(t/2)))sin(nt)dt$

il est demandé l'étude de la convergence et de déterminer la somme de la série .

Bien , j'ai tenté une intégration par partie qui me donne finalement à étudier la somme de 2 séries , pour la première c'est OK ( série alternée dont je peux calculer la somme ( = -1/4 * (Ln(2))^2)

Mais pour la seconde j'ai un terme général :
$V_n=\int_{0}^{\pi/2} tan(t/2) cos(nt)/n dt$

Je sais démontrer que la série sous le signe somme converge ( Abel par exemple) mais d'une part celà ne me donne pas la somme , et d'autre part sans la somme je ne peux montrer que la convergence est uniforme pour rendre licite l'inversion de la somme et de l'intégrale...
N'y aurait-il pas du Fourrier là dedans ??

Un petit coup de main serait sympa

Madec

...

Je te propose une intégration par partie, tu te retrouves avec un truc du genre $2u_n$ et un autre truc calculable je pense.

Madec0

Merci mais ça ne m'aide pas vraiment .

Madec

GPP29

Bonjour,

Une idée est d'étudier la somme de la série de terme général U_n x^n et de faire tendre x vers 1, en vérifiant à postériori que les convergences permettent de permuter les sommations sur t et sur n.

Sauf erreur, on arrive à quelque chose qui fait intervenir la
somme de t= 0 à pi/2 de Ln( cos(t/2)) dt

...

Je ne comprends pas où est la série de fonction , c' est une série numérique non ?

G^2

Bonjour,
pourquoi ne pas faire une 2eme integratin par partie sur Vn pour trouver des termes en 1/n^2 ?

Madec0

Bonjour ,

Bien en fait je me complique la vie inutilement pour montrer que cette série converge et trouver sa somme , c'est une série numérique et
il suffit d'exprimer la somme partielle $S_N$ .

on tombe alors sur la somme d' une intégrale définie I indépendante de N et une intégrale définie J(N) d'une fonction de la forme f(t)Sin(Nt) + g(t)Cos(Nt)
J(N) tend bien sûr vers 0 car f et g sont continues sur l'intervalle d'intégration , d'où $lim S_N =I$

Reste plus qu'à calculer
$I=1/2\int_{0}^{\pi/2} Ln(cos(t/2)) cos(t/2)/sin(t/2)dt$

Madec

Aleg

pour calculer $I$, changement de variable $x=\cos \frac{t}{2}$, puis ipp.

Madec0

merci Aleg ,

après le changement de variable j'aboutis à une intégration de :

f(x) = ( x/(1-x^2)) Ln(x)
et je n'ai pas l'impression que celà soit très "sympathique" même avec une IPP !

Madec

Aleg

excuse-moi Madec,
oublie mon indication, je n'avais pas bien lu ton intégrale (j'y vais vu un produit et non un quotient).
Ceci dit, pour revenir en arrière, je ne suis pas certain du résultat que tu sembles obtenir en calculant
$$S_=\int_0^{\pi /2}\,\ln (\cos \frac{t}{2})\, \sum_{n=0}^{N}\sin (nt)\,dt$$

Madec0

Aleg ,

Je trouve que Sigma(sin(nt)) = ( sin (N/2) t) sin((N+1)/2) t))/ sin (t/2)

puis au numérateur la formule trigo : sin a sin b = ( cos (a-b)-cos(a+b))/2

et dans le (a-b) il n' y a plus de N etc ...

Madec

bisam

Je confirme ton résultat Madec.
La série converge bien vers $I=\frac{\ln(2)^2}{8}-\frac{\pi^2}{48}$.

Pour obtenir ce résultat, tu fais une IPP en dérivant $\ln(\cos(t/2))$, puis dans l'intégrale restante, tu poses $u=\pi -t$ et tu remarques que tu obtiens presque $I$, seules les bornes ont changé.
Tu sommes ce dernier résultat avec l'intégrale $I$ du départ pour obtenir une intégrale entre 0 et $\pi$ que tu peux simplifier par le changement de variable $u=\cos(t/2)$.

On en est alors arrivé à $$I=\frac{\ln(2)^2}{8}+\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{u\ln(u)}{1-u^2}du$$
Malheureusement, je ne sais pas comment conclure... mais Maple sait ! A l'aide de la fonction dilog, il arrive à trouver le résultat fourni plus haut.

Yalcin

bisam on a :
1/(1-x²)=sum((x²)^k,k=0..+oo)
d'où Int(x.ln(x)/(1-x²),x=0..1)=Int(x.ln(x).Sum((x²)^k,k=0..+oo),x=0..1)
=Sum(Int(ln(x).(x^(2*k+1)),x=0..1),k=0..+oo)
=Sum(-1/(2k+2)²,k=0..+oo)
=-(1/4)*(Pi²/6)
=-Pi²/24
après c'est facile

Madec0

Ok merci Bisam

Je ne connais pas du tout Mapple , je suppose que le résultat donné par Mapple( avec Pi dans l'expression)signifie qu'il s'agit d'un calcul formel et donc que l'intégrale en question peut être explicitement calculé ?

Madec

bisam

Yalcin, ta sagacité (à ton âge, allais-je ajouter) m'étonnera toujours !

Madec0

Merci Yalcin et plus généralement à tous ceux qui sont intervenus sur cette question !
Pour info c'était un exo d'oral CCP

Madec

Yalcin

merci pour ton compliment bisam,j'essaie d'être le meilleur de moi même en ramassant vos méthodes

Yalcin

note : je viens d'apprendre un nouveau mot ,"sagacité" ,merci bisam