cns cocyclique

lts

Pouvez-vous me donner une démonstration de :

4 points sont cocycliques <==> (a1a2 , a1a4) = (a3a2 , a3a4) mod Pi

L'implication vers la droite ça va mais dans l'autre sens je n'arrive pas à construire un cercle qui convienne

bisam

Tout d'abord le résultat énoncé tel quel est faux.
Il faut dire "cocycliques ou alignés".

Le cas "alignés" est facile à traiter, je te le laisse.
Si on suppose que les points a1, a2, et a3 ne sont pas alignés alors on peut considérer le cercle C circonscrit à ces 3 points.
On choisit ensuite un repère de même centre que le cercle et d'unité le rayon du cercle, de sorte que dans le plan complexe, les affixes des points a1, a2 et a3 sont de module 1.

Il ne reste plus qu'à triturer des équations afin de montrer que le module de l'affixe de a4 vaut aussi 1 pour conclure.

léo2

L3/M1???? whaou !

Bruno

Comme je n'aime pas l'analytique (mais pas du tout) quand ce n'est pas nécessaire, voici une version totalement géométrique.

Comme bisam, on construit le cercle circonscrit à $a_1,\ a_2\ a_3$ ainsi que celui circonscrit à $a_1,\ a_2,\ a_4$ ; mais ces deux cercles passent par les points $a_1$ et $a_2$ et ont la même tangente en $a_1$, par exemple en raison du théorème de la tangente, or, il n'y a qu'une seul cercle dans le plan qui passe par deux points et qui admettent en l'un de ces points une tangente fixée.

Il y a une deuxième erreur, grave, dans ton énoncé : les quatre points doivent être deux à deux distincts.

Bruno