matrices semblables

joelle1

Bonjour,

Je voudrais savoir si c'est possible pourquoi deux matrices semblables ont meme valeurs propres

Merci d'avance

Bon weekend

lassiotta

deux matrices semblables ont des noyaux isomorphes et leurs translatées par une m^me homothétie sont encore semblables.

Deux bonnes indications

alekk

ou encore, elles ont le même polynôme caractéristique.<BR>

léo2

Je profite de ce sujet pour une question que j'ai déjà un peu posée :
Sur tout mon cours d'algèbre (niveau spé) on a

rg(M)=rg(trans(M)
det(M)=det(trans(M))
P(M)=P(trans(M)) où P est le polynôme caractéristique...

Et je sais bien que ça n'implique pas forcement que M soit semb. à trans(M) et pourtant je crois bien que l'on me l'avait dit sur le forum que c'était le cas !
Or le pire dans l'histoire c'est que mon prof m'a fait: "PFFFFFFF, on va dire que non, c'est pas toujours vrai, donc non !"

Alors, que penser ? Et de quel niveau est la démo correspondante ?

vandeville alexandre

Bonjour leo,

Toute matrice est bien semblable à sa transposée (penser à la réduction de Jordan).

...

Une matrice est bien semblable semblable a sa transposée. Tu peux le montrer si tu es en spé et si tu as vu la décomposition de Frobenius

Ben

Une matrice est en effet semblable à sa transposée : pour le voir, on suppose que le corps de base est algébriquement clos (par exemple K=C) et alors la matrice est semblable à sa forme réduite de Jordan. En renumérotant les vecteurs de cette base, on voit qu'une réduite de Jordan est semblable à sa transposée, et par transitivité une matrice est semblable à sa transposée.
Mieux, une matrice et sa transposée ont memes invariants de similitude, donc elles sont semblables. Cette seconde démonstration fait appel à des outils puissants et hors programme de prépa (contrairement à Jordan).

Pilz

pour compléter ce que dit Ben , si le corps n'est pas algébriquement clos on peut remarquer que les invariants de similitude ne dépendent pas de l' extension de corps considérée ( grâce à leur unicité justement)

Traitdefamille

deux matrices nilpotentes ont même polynôme caractéristique, elles peuvent avoir de plus même rang, même polynôme minimal, être de taille 7x7 ou plus sans être forcément semblables..

C'est utile de savoir cela, notamment pour l'agregation, ou pour l'X.

léo2

MAIS Jordan est hors programme pour les prépas... Ce qui n'empeche pas de savoir ce que c'est car j'en ai un peu besoin pour trigonaliser