Qu'est-ce-qu'une aire ?

Jean43

Voilà la question existencielle que je me suis posée sur les aires et à laquelle j'ai tenté de répondre.(je suis en terminale)
Je suis parti de principe que pour moi l'aire de deux domaines disjoints était égale à la somme des aires de ces deux domaines.Car je ne peux pas en douter : c'est vrai, personne ne peut m'affirmer le contraire, mais je ne peux pas vraiment le justifier personnellement... (problème philosophique...)
En effet, c'est la seule définition que j'ai su donner à une aire.
Ainsi, j'ai pu expliquer pourquoi l'aire d'un rectangle de côtés a et b est a*b ce qui personnellement ne me parait pas si évident que ca finalement ! On a tellement été inculqués !
Je pense qu'il doit y avoir plus simple mais bon.... dites moi ce que vous en pensez !

Donc on a pour définition A(D1UD2)=A(D1)+A(D2) si D1 et D2 sont disjoints.

Si on note A(a,b) l'aire d'un rectangle de hauteur a et de largeur b, on a donc A(a+x,b)=A(a,b)+A(x,b)

Donc, soit un rectangle de largeur k*x et hauteur y.

On a par réccurence immédiate la relation A(k*x,y)=k*A(x,y) SEULEMENT pour k ENTIER NATUREL !

A(x+h,y)=A(h(1+x/h),y)
Soit N avec n tend vers +
Posons alors h=(1/N)*x
On a h tend vers 0 et 1+x/h entier naturel
D'où A(x+h,y)=(1+x/h)*A(h,y)
Or d'après notre lemme de départ, A(x+h,y)=A(x,y)+A(h,y)
On a alors A(x+h,y)=(1+x/h)*(A(x+h,y)-A(x,y))
D'où A(x+h,y)=A(x+h,y)+(x/h)A(x+h,y)-A(x,y)-(x/h)A(x,y)

Et donc [A(x+h,y)-A(x,y)]/h = A(x,y)/x
Comme h tend vers 0, on a : A(x,y)'(x)=A(x,y)/x

C'est à dire A(x,y)=ax

De plus, A(x,y)=A(y,x)
Donc on a aussi A(x,y)=by

On a donc finalement A(x,y)=cxy

Enfin, comme A(1,1)=1*1*c, on a c=A(1,1)

En définitive, on a donc A(x,y)=x*y*A(1,1)

On peut fixier A(1,1) à n'importe quoi semble-t-il ! C'est l'unité d'aire ...?

Jean43

Je n'ai donc répondu qu'en partie à ma question "Qu'est-ce-qu'une aire" car je ne parle que de rectangles. Cependant, il me semble qu'en considérant par exemple un disque comme une union infinie de rectangle de hauteur quasie nulle(dx), on peut par calcul intégral trouver l'aire.... et comprendre donc ce que c'est, d'où ca vient...
Mais est-ce-qu'on peut toujours assimiler une surface a une union infinie de rectangles de hauteur quasinulle ?
cela signifie qu'on assimile une courbe à un droite verticale quand la variation de y est faible ... Ca parait logique... Mais pourquoi ?

Jean43

personne d'intéressé ?


[As-tu remarqué l'heure et cela fait à peine 10mn que tu as posé ta question ? AD]

Jean43

Je veux modifier le titre de mon sujet en "démontrer que l'aire d'un rectangle est le produit de la largeur par la heuteur" comment faire ? Merci


[Pourquoi un titre si long ? Il y a tout le corps du message pour s'exprimer ! AD]

Housni

"démontrer que l'aire d'un rectangle est le produit de la largeur par la heuteur"

Il nous ont appris à l'école primaire que A=a.b, at en avancant, on a pu comprendre que $A=\int_{0}^{a}bdx=\int_{0}^{b}adx=a.b$.

(:-)
Housni

Nicolas_75

Bonjour,

Avant de vouloir démontrer que "l'aire d'un rectangle est le produit de la largeur par la hauteur", quelle définition donnez-vous à l'aire ?

Nicolas

Bruno

Bonjour Jean.

Tu n'as pas du tout défini ce que c'est qu'une aire, mais tu as explicité une propriété de l'aire relativement à la réunion de deux parties distinctes du plan. Tu peux même essayer de donner une formule plus générale :$$\mathfrak A(A \cup = \mathpfrak A(A) + \mathfrak A(B) - \mathfrak A(A \cap .$$En ce qui concerne ta question sur la réunion de rectangles ayant une dimension "quasi nulle", notre logique booléenne n'admet pas de moyen terme, ou bien tu as des rectangles car leurs deux dimensions ne sont pas nulles ou bien l'une des dimensions est nulle et tu n'as plus un rectangle. Mesurer une aire, c'est effectivement tenter de recouvrir le domaine que l'in considère par des rectangles dont les dimensions deviennent de plus en plus perites. A priori, ce n'est pas toujours possible, bien que je ne sache pas donner d'exemple, et les domaines que l'on peut ainsi recouvrir s'appellent les parties quarrables du plan.

Bruno

bs1

bonjour

Remarquable chapître 5 : "Aires, intégrales et primitives, un cheminement de la géométrie à l'analyse ,inspiré de l'histoire", dans :

Carrefours entre Analyse, Algèbre et Géométrie de Marc Rogalski (Ellipses)

qui répond en détail à la question.

Rémi Chautard

Vivement le cours sur a théorie de la mesure !!

Une aire est une mesure de Lebesgue sur $\Bbb{R}^{2}$, par exemple... mais en terminale...

En revanche, à l'aide du calcul intégral, tu vas pouvoir retrouver les bonnes vieilles formules du primaire, à savoir, l'aire d'un rectangle, d'un cercle, etc.

will7

salut Jean,
pour pouvoir apprecier a sa juste valeur la notion d'aire , de surface et autres volume il te faudra voir encore le niveau Bac+2 !
Ces notions sont plus abstraite qu'on pourrait le croire, un grand mathématicien qui a étudier c ette question et en a meme fait une théorie tres utile, LEBSGUE; fait quelques recherche sur lui et tu devrai quand meme trouver quelque chose de compréhensible!

Tres aimablement Will!

bs1

Bonjour

Il est vrai que le livre de Rogalski est dans la collection : CAPES / Agrégation; mais de lecture très conviviale et nullement elliptique.En particulier, le chapître évoquant le sujet est parfaitement abordable par un élève motivé de terminale, comme l'est Jean.

Hors sujet : s'il te plaît, AD, peux-tu supprimer deux de mes messages (doublon) dans le fil :limites de f et f'; merci
[Pourquoi tant d'impatience, j'y vais de ce pas AD]

Toto.le.zero

Je suis plutôt d'accord avec Rémi et Will, bien que la notion d'aire soit très intuitive, pour bien la formaliser il faut un bon niveau de licence et un cours de théorie de la mesure (et en particulier de la mesure de Lebesgue).

Philippe Malot

Dans ce cas, que répondre à la question "Qu'est-ce qu'une aire ?" posée par un élève de collège ? (On étudie les "aires" avant Bac+2)

Toto.le.zero

la réponse du prof "l'aire d'un carré de coté a est a²".

Et l'élève est content.

Jean43

Merci pour vos réponses.
Pour répondre à Housni, il me semble que c'est une fausse démonstration !
Il me semble idiot (mais je suis en terminale) de démontrer cela en disant que c'est \int_{0}^{a} adx car la définition de l'intégrale est basée sur l'aire d'un rectangle.

on pose dx=(b-a)/N
on fait tendre N vers l'infini

et alors, l'aire délimité par x=ndx, x=(n+1)dx, la courbe et y=0 est par approximation à L'AIRE D'UN RECTANGLE : dx*f(n*dx)

On a alors selon moi comme la meilleure définition de l'intégrale :
\int_{a}^{b} f(x)dx = \sum_{n=0}^{N-1}dx*f(ndx)=dx*\sum_{n=0}^{N-1}f(ndx)
avec N tend vers + l'infini et dx=(b-a)/N

Si je dis des conneries, dites le moi je le prendrai mieux que si vous ne me dites rien....

Cependant, si quelqu'un a une démo meilleure que la mienne pour l'aire, je suis content...
D'ailleurs, sur un autre forum on m'a proposé quelque chose d'intéressant, mais utilisant le fait que Q est dense dans R, et ca moi je sais pas ce que ca veut dire...
Je vous la donne parce que c'est pas mal...
En fait, j'avais fait une premiere démo qui était fausse : c'est celle-ci :
A(k*x,y)=k*A(x,y)
D'où en particulier A(x*1,y)=x*A(1,y)
De plus, il est évident que A(a,b)=A(b,a) quelque soient a et b.
D'où A(x,y)=x*A(y*1,1)=x*y*A(1,1)
C'est faux car je ne peux pas dire A(x*1,y)=x*A(1,y) car x n'est pas entier naturel....
On m'a alors proposé ceci :

A(ax,y)=A((p/q)x,y)=pA(x/q,y)

et on a A(x,y)=A((q/q)x,y)=qA(x/q,y)
donc A(x/q,y)=A(x,y)/q

=> A(ax,y)=(p/q)A(x,y)=aA(x,y)
et puisque Q est dense dans R
on trouve facilement en utilisant une suite dans Q qui converge vers un nombre reel r
que A(rx,y)=rA(x,y)
Voili Voilo Merci à tous

Jean43

Et au fait, quelqu'un peut-il me dire si ma démo est vraiment correcte ? Merci

Jean43

J'ai oublié de mettre le signe $ ! C'est la premiere fois que je suis ici... Comment puis-je faire ?!
Merci d'avance...

Le freeman

On fait comme ca :

"Merci pour vos réponses.
Pour répondre à Housni, il me semble que c'est une fausse démonstration !
Il me semble idiot (mais je suis en terminale) de démontrer cela en disant que c'est $\int_{0}^{a} a.dx$ car la définition de l'intégrale est basée sur l'aire d'un rectangle.

on pose dx=(b-a)/N
on fait tendre N vers l'infini

et alors, l'aire délimité par x=ndx, x=(n+1)dx, la courbe et y=0 est par approximation à L'AIRE D'UN RECTANGLE : dx*f(n*dx)

On a alors selon moi comme la meilleure définition de l'intégrale :
$\int_{a}^{b} f(x)dx$ = $\sum_{n=0}^{N-1}dx*f(ndx)=dx*\sum_{n=0}^{N-1}f(n).dx$
avec N tend vers + l'infini et dx=(b-a)/N"


t-mouss

tigweg0

Salut Jean,

je t'ai répondu sur le forum de l'île des mathématiques..Dsl pour hier soir, mais j'étais fatigué et tu semblais t'être absenté du forum, je suis donc allé me coucher

jean-c_rien1

Jean,
j'aime bien l'introduction que tu as faite. Elle met en lumière le point essentiel : l'aire d'un rectangle dépend de l'aire d'un rectangle unité, cette dernière aire étant purement conventionnelle. Cette convention est d'ailleurs récente dans l'histoire des mathématiques (en germe dans les mathématiques arabes, explicite chez Descartes, c'est d'ailleurs ça qui à rendu sa "Géométrie" célèbre).

Hugo_

Une aire est une longeur fois une longeur.

Jean43

HUGO>>>lol
Moi jvois pas ca comme ca....
Pour moi c'est une valeur qu'on associe à une surface répondant à l'axiome A(A1UA2)=A(A1)+A(A2) ....
D'où comme dit jean-c-rien le caractere conventionnel de l'aire....
Et c'est ca qui va nous permettre de nous rendre compte alors que c'est effectivement une longueur fois une longueur

Hugo_

Pour moi c'est une valeur qu'on associe à une surface répondant à l'axiome A(A1UA2)=A(A1)+A(A2)


>> Dans ce cas ca peut-être une masse, un salaire ou un morceau de poulet.

Guimauve0

Personnellement j'attribue rarement masse, salaire ou morceaux de poulets à des parties du plan, mais qui suis-je pour juger les moeurs d'autrui ?

egoroff

Guimauve : je pense qu'hugo voulait dire que le fait d'être une fonction additive de certaines parties du plan (on dirait plutôt une mesure) ne caractérise pas ce qu'on appelle intuitivement "l'aire" et savamment "la mesure de Lebesgue bidimensionnelle". Donc l'axiome de Jean n'est pas suffisant.


Qu'est-ce que l'aire a de si particulier ? La réponse tient en une phrase et je pense que ce point de vue pourra t'éclairer, Jean. C'est, à une constante multiplicative près (la fameuse aire arbitraire du carré unité) la seule mesure (ou fonction additive de parties quarrables, ou simplement de rectangles) non nulle et {\it invariante par translation}. C'est pour ça qu'on ne l'appelle pas morceaux de poulets. Et cette invariance par translation est implicitement supposée par Jean dans son premier post, par exemple lorsqu'il écrit $A(a+x,b)=A(a,b)+A(x,b)$.


Plus généralement il me semble qu'on a la garantie de l'existence d'une telle mesure borélienne non nulle et invariante par translation sur n'importe quel groupe topologique localement compact, c'est-à-dire, pour simplifier, un ensemble où on a su définir une notion de continuité, et une "addition" (non nécéssairement commutative) et une "soustraction" (opération inverse de l'addition) continues, et qui ne soit pas trop "gros". Ca s'appelle une mesure de Haar.

Jean43

J'ai donc du mal m'exprimer....
Mais bon.... hugo.... Même si on a l'impression de connaitre très bien ce qu'est une aire.. eh bien au moment d'en donner la définition, on reste totalement bloqué, ou bien dis la moi toi la définition !
Moi la seule chose que j'ai pu dire sur l'aire d'un rectangle, c'est que l'aire d'un rectangle de largeur x et de hauteur y était la même que celui de largeur y et de hauteur x cad A(x,y)=A(y,x) et que l'aire d'un rectangle de largeur x+h et de hauteur y était égal à la somme de celui de largeur x et de hauteur y et celui de largeur h et de hauteur y cad A(x+h,y)=A(x,y)+A(h,y)
Moi personnellement, la notion d'aire n'est pas plus concrete que cela !
Et c'est à partir de cela que l'on montre que A(x,y)=xyA(1,1)
C'est donc que les critères que j'ai donné à l'aire la définissent il me semble, à une constante multiplicative près : l'unité d'aire
Voili Voilo ce que j'en pense
Jean

Le freeman

"Et c'est à partir de cela que l'on montre que A(x,y)=xyA(1,1)"

ouais si x et y sont entiers.... sinon c'est quand meme pas aussi simple (fau t le montrer pour x et y rationnels puis par densité/continuité prolonger à $\R$)

q.A(p/q,y)=A(p,y)=p.A(1,y) ==> A(p/q,y)=(p/q)A(1,y)

par symétrie on obtient la meme égalité avec la 2e variable.

Ensuite comme on peut décomposer tout réel x en somme (eventuellement infinie) de rationnels et que l'aire est additive (bon il faut montrer que meme si y a une infinité de termes ca ne pose pas de problème)

Et enfin on obtient que A(x,y)=x.y.A(1,1)


t-mouss

Hugo_

Jean je te l'ai dit, une aire est une longeur fois une longeur !

Apres que l'aire d'un carré soit c² c'est une autre paire de manche...

Guimauve0

Hugo_, à quoi sert ta définition ?

La caractérisation que Jean donne de la fonction « Aire » lui permet de trouver des résultats, mais concrètement à quoi sert ta définition « une aire est une longueur fois une longueur » ? Que peux tu faire avec ?

Jean43

Je suis d'accord avec toi Guimauve ... Je ne comprends pas ce que veut dire Hugo....
Peux-tu expliciter ta pensée Hugo ?
Jean

Hugo_

Je pense surement d'une manière trop physicienne, mais le concept d'aire me parait indiscossiable de l'unité à laquelle il se ratache.

Quand on définit un objet mathématique, la première chose à faire est de dire si c'est un entier naturel, une fonction, un ensemble, etc...

Pour l'aire, la première chose à dire c'est que c'est le produit de deux longeurs.

Je pense qu'on tourne en rond, puisqu'en fait quand on parle d'intégrale, la notion d'integrale est apparue justement pour formaliser l'aire, (Riemann et sa somme de rectangles infinitésimaux).

Je crois qu'en maths quand on veut comprendre tout comme une définition, on en revient a des intuitions irréductibles.

On conçoit aisément qu'une fonction continue se trace d'un coup de stylo sans lever la main. SI on veut le formaliser on ramène la définition espilonique. (comme on ramène la notion de mesure ou d'intégrale pour parler d'aire).

Mais peut-on vraiment prouver qu'il y a équivalence entre "tracer sans lever le stylo" et "notion de continuité" ??? Il y aura toujours une petite démarcation entre l'idée historique et les tonnes de définitions qui abondent. On pourra multiplier la complexité des outils (mesures, etc...), ca ne fera que rendre cette demarcation plus fine, mais elle existera toujours.

Housni

Et pourquoi vous ignorez tous Riemann et ses sommes ?!

$f\geq 0$ continue sur $[a,b]$, l'air du domaine $\{M(x,y) / a\leq x\leq b , 0\geqy\geqf(x)\}$
$$A=\lim_{n\longrightarrow+\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(a+i\frac{b-a}{n})=\int_{a}^{b}f(x)dx$$

(:-)-

Housni

Et pourquoi vous ignorez tous Riemann et ses sommes ?!

$f\geq 0$ continue sur $[a,b]$, l'air du domaine $\{M(x,y) / a\leq x\leq b , 0\leq y\leq f(x)\}$
$$A=\lim_{n\longrightarrow+\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(a+i\frac{b-a}{n})=\int_{a}^{b}f(x)dx$$

(:-)-

Housni

Ne compliquons pas la notion d'aire ! Parceque selon moi elle est évidente comme le montre les sommes de Riemann plus haut.

(:-)-<--<
Housni

Domi

Bonjour à tous .

Désolé de me mêler de choses qui me dépassent certainement mais pour moi la notion d'aire n'est rien d'autre qu'une mesure produit . Si on sait mesurer certaines parties de $\R$ , on sait aussi mesurer certaines parties de $\R^2$ . En plus : Aire du rectangle = Longueur X Largeur prend tout son sens ( Fubini ) . Tout autre développement de la notion d'aire ( ensemble quarrable , etc ... ) ne peut avoir qu'un intérêt historique ou donner un cadre pour un développement élémentaire . Le fait que les boréliens de $\R^2$ ne soient pas perçus de façon évidente comme les parties mesurables n'est pas un bon argument , c'est la vision qui se révèle la plus fertile donc c'est la bonne ( les notions de groupes , espaces topologique ne sont pas si naturelles que cela à la réflexion ) . Pour reprendre l'exemple d'Hugo_ , sa vision des fonctions continue est la bonne mais je le mets au défi de tracer une fonction continue et jamais dérivable ( le stylo va avoir du mal à démarrer ) .

Domi

Hugo_

Qu'est ce qu'une longeur ?

Domi

Tout est là , peut on prétendre mesurer des aires si on ne sait pas mesurer des longueurs ?

Domi

AlainLyon0

Il est vrai que l'intégrale de Lebesgue répond à la question, sur le plan pédagogique et historique, elle me semble assez abstraite pour la question posée.
En effet l'intérêt principal de l'intégrale de Lebesgue est son utilisation pour créer des espaces fonctionnels avec des propriétés de complétude par exemple. Pour la notion d'aire géométrique à mon avis l'intégrale de Riemann suffit. Cela se vérifie d'ailleurs à l'usage, car personne n'utilise l'intégrale de Lebesgue pour les calculs d'aires d'objets géométriques "assez réguliers". Géométriquement il existe d'autres objets que les domaines limités par des courbes C1 par morceaux (ce sont les moins régulières appréhendées au Lycée), par exemple des objets fractals, pour ces objets il ne sert à rien de dire qu'on peut leur donner une aire, puisqu'ils sont la "plupart du temps" (toujours ?) de mesure de Lebesgue nulle et donc d'aire nulle.

AlainLyon0

hugo_ à écrit "Pour moi c'est une valeur qu'on associe à une surface répondant à l'axiome A(A1UA2)=A(A1)+A(A2)" : Cet axiome est nécessaire, mais il n'est pas suffisant pour l'intuition que nous avons du plan euclidien. On peut rajouter, et cela ne contredit, pas nos sens que si I est une isométrie euclidienne alors il faut de plus que A(I(D))=A(D) où D est une partie du plan "convenable". Sinon une
probabilité sur le plan répond à l'axiome que tu cites, mais ne correspond pas à notre intuition géométrique de l'aire, en raison de sa non invariance en général par translation. De plus l'axiome de l'union finie est à remplacer par une union au moins dénombrable, sinon on est conduit à définir axiomatiquement les aires d'un ensemble non dénombrable de figures élémentaires, ce qui est impossible avec
un langage naturel où formel, dont l'ensemble des phrases est dénombrable (dans le
même genre on peut voir que l'ensemble des irrationels est "innomable")