marche aléatoire

abed

Boujour,
J'aimerais savoir si quelqu'un sait comment on demontre que 0 est un point recurrent de la marche aleatoire symetrique sur Z, en utilisant seulement le TCL et la loi du 0-1 (sans chaines de Markov)
Je ne trouve pas de reference (si quelqu'un en a une ...)
Merci d'avance

skyrmion

Vonjour,


page 8 du doc ci-joint.

JN.

skyrmion

Bonjour,


page 8 du doc ci-joint.

JN.

skyrmion

Bonjour,
page 8 du doc ci-joint.
JN.

skyrmion

oups, voila le doc.......

skyrmion

voila le doc....

abed

Merci skyrmion, mais ce n'est pas ce que je veux
Dans ce papier, on démontre que la marche revient en 0 une fois, alors que je voudrais montrer qu'elle y revient un infinité de fois
Merci quand même

egoroff

Mais si elle y revient une fois, tu peux remettre l'origine du temps en ce point (puisque la chaîne est homogène et les accroissements indépendants) et réutiliser ton résultat, etc.

abed

Pour egoroff
Je veux justement eviter d'utiliser la propriete de Markov, il exite une demonstration qui n'utilise que le TCL et la loi du 0-1, et c'est ce que je recherche
Merci

Lucas6

>Je veux justement eviter d'utiliser la propriete de Markov,
>il exite une demonstration qui n'utilise que le TCL et la loi du 0-1,
> et c'est ce que je recherche

En fait c'est encore mieux que ça, il existe à ma connaissance deux preuves qui n'utilisent presque rien:

1) Preuve avec des séries génératrices, mais c'est assez calculatoire.
2) Preuve par dénombrement, il "suffit" de montrer
\begin{displaymath}
\sum_{n\geq 0} \mathbb{P}(S_{2n} =0) =\infty
\end{displaymath}
Et là, il faut utiliser Stirling (cette preuve a d'ailleurs l'immense intérête de se généraliser pour montrer que dans $\mathbb{Z}^2$ c'est aussi récurrent, mais plus dans $\mathbb{Z}^3$).

Ces deux preuves sont dans Grimmet & Stirzaker "Probability and random processes".

Bonne lecture,
Lucas.

abed

Merci Lucas,
je vais regarder ce livre des que je pourrais

Kuja

Bonjour,

Je ne connais pas la preuve 1) de Lucas, mais la 2) est archi-classique.
Je peux peut-être détailler un peu : il existe un critère de récurrence qui fait apparaître la quantité donnée par Lucas. En effet, 0 est récurrent si et seulement si la série $\sum_{n\geq 0} P_{00}^n$ diverge, où $P_{00}^n$ est la probabilité de revenir en 0 en $n$ itérations de la chaîne, en partant de 0. Il est clair que $P_{00}^{2k+1}=0$, et d'autre part, revenir en 0 en $2k$ itérations signifie que l'on a effectué autant de sauts vers la droite que vers la gauche. Point de vue dénombrement, on est donc dans le cadre de la loi binomiale, et donc
$$P_{00}^{2k}=C_{2k}^kp^k(1-p)^k$$
où $p$ est la probabilité d'aller vers la droite. Par Stirling on a alors que
$$P_{00}^{2k}=\frac{(4p(1-p))^k}{\sqrt{\pi k}}$$
Si on considère la marche aléatoire standard $p=1/2$, alors la série diverge.

Enfin, tant qu'on y est sur les preuves différentes, en voici une autre, qui prouve juste que la chaîne est transiente si $P\neq 1/2$ . Si on note $X_n$ la marche aléatoire standard sur $\Z$ issue de 0, alors on peut écrire que $X_n=Z_1+\ldots+Z_n$ où $P(Z_n=1)=p=1-P(Z_n=-1)$. D'après la loi forte des grands nombres, $X_n/n$ converge p.s. vers $E(Z_1)=2p-1$. Si $p$ est différent de $1/2$ alors $X_n$ converge p.s. vers l'infini, ce qui est incompatible avec une chaîne récurrente (puisqu'elle doit visiter tous les états une infinité de fois).