Lecon 64

ngb

Bonjour,

Je travaille la leçon 64 de l'oral du capes et j'ai un problème pour montrer la réciproque du théorème suivant:

I est un intervalle de $\R$ ssi I est une partie convexe de $\R$.

Pour l'implication directe c'est ok.
Pour la réciproque j'ai noté:
Soit m = inf x si I est minoré
-$\infty$ sinon

M = sup x si I est majoré
+$\infty$ sinon

On a I $\subset$ [m,M].
Pour tout y $\in$ [m,M]\{m,M}, y $\in$ I.
Puis il faut distinguer les cas où m et M sont finis ou non mais là je ne vois comment aboutir au résultat.

Merci par avance pour votre réponse.

ryo

supposons $I$ partie convexe de $\R$
Alors $I$ connexe (dis moi si ca pose probleme le donc)

Par l'absurde supposons $I$ n'est pas un intervalle
Alors il existe $x

ryo

Je ferai mieux de m'abstenir le matin :
Il faut lire $y$ a la place de $z$ dans la definition de $U$ et $V$ : on va le chercher pour assurer que l'intersection est vide.

dido

Sans utiliser la connexité :

Soit $U=I\cap]-\infty;y[$
Si U n'est pas minoré, alors pour tout b dans ]-\infty;y[$ , il existe c dans U tel que c$\leq$b; donc puisque [c;y]$\subset$I, b$\in$I. Donc $U=]-\infty;y[$
Si U est minorée, alors il existe une borne inf $\beta$ et U$\subset$]$\beta$,y]. Ainsi, pour tout b$\in]\beta$,y], il existe c$\in$U tq b>c , soit b$\in$I. On a $]\beta,y]. \subset U \subset [\beta,y]$ ,
Ainsi U est soit $]-\infty;y]$ soit [$\beta$,y], soit ]$\beta$,y].

Il faut faire pareil avec V. Et puisque I=U$\cup$V, alors I est un intervalle

dido

Sans utiliser la connexité :

Soit $U=I\cap]-\infty;y[$
Si U n'est pas minoré, alors pour tout b dans ]-\infty;y[$ , il existe c dans U tel que c$\leq$b; donc puisque [c;y]$\subset$I, b$\in$I. Donc $U=]-\infty;y[$
Si U est minorée, alors il existe une borne inf $\beta$ et U$\subset$]$\beta$,y]. Ainsi, pour tout b$\in]\beta$,y], il existe c$\in$U tq b>c , soit b$\in$I. On a $]\beta,y]. \subset U \subset [\beta,y]$ ,
Ainsi U est soit $]-\infty;y]$ soit [$\beta$,y], soit ]$\beta$,y].

Il faut faire pareil avec V. Et puisque I=U$\cup$V, alors I est un intervalle

dido

??? désolée mais je ne comprend pas, mon texte s'affiche et quand je l'envoi il n'y a plus rien ?

Je retente :
Sans utiliser la connexité :

Soit $U=I\cap]-\infty;y[$
Si U n'est pas minoré, alors pour tout b dans ]-\infty;y[$ , il existe c dans U tel que c$\leq$b; donc puisque [c;y]$\subset$I, b$\in$I. Donc $U=]-\infty;y[$
Si U est minorée, alors il existe une borne inf $\beta$ et U$\subset$]$\beta$,y]. Ainsi, pour tout b$\in]\beta$,y], il existe c$\in$U tq b>c , soit b$\in$I. On a $]\beta,y]. \subset U \subset [\beta,y]$ ,
Ainsi U est soit $]-\infty;y]$ soit [$\beta$,y], soit ]$\beta$,y].

Il faut faire pareil avec V. Et puisque I=U$\cup$V, alors I est un intervalle

dido

Tte mes excuse, j'envoie bien quelques chose, mais il n'apparait pas dans les posts, je ne comprend rien. Pb de Latex ?????

dido

Sans utiliser la connexité :

Soit U=$I\cap]-\infty;y]$
Si U n'est pas minoré, alors pour tout b dans $]-\infty;y]$ , il existe c dans U tel que c$\leq$b; donc puisque [c;y]$\subset$I, b$\in$I. Donc $U=]-\infty;y]$
Si U est minorée, alors il existe une borne inf $\beta$ et U$\subset$]$\beta$,y]. Ainsi, pour tout b$\in]\beta$,y], il existe c$\in$U tq b>c , soit b$\in$I. On a $]\beta,y] \subset U \subset [\beta,y]$ ,
Ainsi U est soit $]-\infty;y]$ soit [$\beta$,y], soit ]$\beta$,y].

Il faut faire pareil avec V. Et puisque I=U$\cup$V, alors I est un intervalle

ngb

Merci beaucoup pour ces réponses.
Du coup j'ai non pas une mais preuves )
Merci encore.

ngb

Merci beaucoup pour ces réponses.
Du coup j'ai non pas une mais deux preuves )
Merci encore.

dido

Il faut lire : "Si U est minorée, alors il existe une borne inf et U$\subset[\beta,y]$. "

Bruno

Bonjour.

Nous sommes bien d'accord sur la définition d'un intervalle ? Si $x < y$ sont deux points de $I$, alors tout $z$ vérifiant $x < z < y$ est un point de $I$ ?

Si c'est le cas (sinon je te conseille de changer la définition d'intervalle ;-) on se donne donc $x < y$ deux éléments de $I$, si $I$ est convexe, alors tout z vérifiant :$$\exists\,t \in [0,1] \quad z = (1 - t)\,x + t\,y$$est un élément de $I$ ; donc $I$ contient bien tout réel strictement compris entre $x$ et $y$ ; c'est donc un intervalle.

Remarque. C'est assez difficile de ne pas se prendre les pieds dans le tapis puisque on veut caractériser un intervalle par une propriété qui utilise ce consept.

Bruno

ngb

Bruno,

Ma définition d'intervalle n'est pas celle là ( mais je dis qu'une partie de $\R$ est un intervalle si elle est de la forme un singleton, $\R$, un "intervalle" ouvert, fermé... (désolée mais je sais pas écrire un intervalle ouvert en latex) puis je prends pour définition de partie convexe:

A est convexe ssi pour tous a et b de A, [a,b] $\subset$ A où
[a,b]={x $\in$ E tel que x=ta+(1-t)b,0$\leq$t$\leq$1.

Donc je ne pense pas pouvoir utiliser cette méthode parce que je ne démontre pas qu'il est de la forme de "ma" définition.

Si je me trompe reprenez moi.

Merci

Bruno

J'ai (et le membres du jury risquent de te dépecer, n'oublie pas que j'en ai fait partie et je connais encore bien la façon de raisonner de ces odieux personnages) quelques problèmes avec ta "définition" d'intervalle ; je te cite :

{\it je dis qu'une partie de $ \mathbb{R}$ est un intervalle si elle est de la forme un singleton, $ \mathbb{R}$, un "intervalle" ouvert, fermé}

Qu'est-ce que c'est que ces "{\bf intervalles} ouverts, fermés" ? $[a,b]$ et $]a,b[$ ? Ques aco ? Ne tournerait-on pas un peu en rond (caressez un cercle et il devient vicieux) :-))

Bruno

PS. Ne te laisses pas influencer, peut-être que j'ai une absence, mais il faut tirer cela au clair.

Sisbai

Salut

Je rejoins Bruno pour sa définition et sa démonstration.

Déf : Soit $I$ une partie de $\R$. On dit que I est un intervalle si pour tous $x

le dadaiste

Question à Bruno, est-ce que la justification par connexité proposée sur ce topic est valable, pendant un oral ?

Car personnellement je n'aurais pas osé la dire, car elle me semble contourner le probleme, en substituant la notion de segment par celle de partie connexe, dans R qui est un espace vectoriel... C'est malin, mais je suppose qu'un jury aime bien piéger les "petits malins" ...

En gros je ne passe pas le capes, mais est-ce que ce genre de réponse attise la haine des jurys (donc en particulier la vôtre!) ?

Cordialement, le dadaiste

Bruno

Bonjour le dadaïste.

On ne s'attire jamais la haine d'un jury. Si j'ai parlé de "se faire dépecer par le jury", c'est que malheureusement pour le candidat, s'il s'engage dans un cercle vicieux, le jury ne va pas laisser passer la chose et, l'expérience me l'a souvent montré, le malheureux candidat qui n'a pas vu le problème s'enferre et cela fait un exposé catastrophique... Sans haine aucune. D'autre part le jury n'aime pas spécialement piéger les petits malins ; car c'est un jeu à double tranchant. Par contre, le jury n'aime pas qu'on se paye sa tête : le respect doit être mutuel.

Venons en à la question importante : on veut montrer que l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Il faut bien noter que la définition de la notion d'intervalle est cruciale : elle détermine quand même la façon de démontrer les théorèmes.

La règle du jeux, c'est d'insister sur les points importants. Or ceux-ci sont liés à la structure de $\R$ : théorème de la borne supérieure, théorème de Bolzano Weierstrass... Bref ces propriétés qui ont donné un corps formel au vague concept d'ensemble continu.

Je fais remarquer au passage que cette propriété n'est pas vraie sur $\Q$ : si on considère la fonction $f$ qui à $x$ associe $\dfrac 1{x^2 - 2}$, elle est continue sur $I = [1,2]$ mais {\bf l'image de cet intervalle n'est pas un intervalle}.

Venons-en à ta question directe le dadaïste. J'y répond par une autre question : est-ce que le passage d'un travail sur un intervalle à un travail sur un ensemble convexe, aussi astucieux que soit ce passage, éclaire bien les questions importantes ? Ou bien est-ce une simple astuce pour simplifier des démonstrations ?

En résumé, c'est la clarté et la simplicité {\it réelles} de l'exposé plus que les astuces qui doivent guider les choix des définitions et des démonstrations.

Bruno

ryo

Bruno je pense que tu as tout a fait raison et j'ai bien la meme definition d'un intervalle.
J'ai propose cette preuve car je m'en rappelais (le coup de l'ouvert de I je comprenais pas au debut, et du coup je m'en rappelle) mais elle servait a montrer que connexe de R => intervalle de R, j'ai juste adapte mais le passage convexe => connexe dans le cas general a rien de si facile (meme si en general je pense qu'on arrive a connaitre le bon sens de l'implication la demo c'est autre chose) et je n'ai aucune idee de ce qu'on a le droit d'admettre au capes

Donc en resume ce n'etait pas une volonte delibere de contourner la difficulte (meme si au final le jury de capes le prendrait peut-etre ainsi) et je pense que la demo de bruno est plus adapte (et plus simple au passage)

Bruno

ryo.

Je ne t'accuse pas de tenter de contourner les difficultés. En préparation, il est toujours préférable d'emmagasiner le maximum d'approches des notions et démonstrations.

Simplement, pour bâtir un exposé, il faut tenir compte :

- De ta façon de voir les choses ; c'est très important d'être à l'aise dans le plan et avec les outils employés.

- Du devis de l'épreuve ; montrer les points importants et les idées essentielles.

- Éviter les cercles vicieux.

Rien qu'avec ces contraintes, tu as de quoi t'orienter entre plusieurs façons de faire.

Je rappelle souvent qu'un des atout c'est de s'extraire de la mentalité d'apprenant. Si tu réussis le Capes, l'an prochain tu auras une classe en responsabilité.

Bruno

le dadaiste

Tout a fait, mais je réfléchissais comme si on me posait la question à l'oral directement :

si on me pose la question à l'oral, la première idée qui me vient, c'est justement le "passage en connexe" car comme c'est de la topo "générale", on a des résultats généraux, qui peuvent justement permettre d'identifier certaines choses, et de se passer de revenir à la base (et dans ce cas même à la définition du segment).

Alors après cela dépend de la facon dont la question est posée, mais même si elle est rapide, claire avec un peu de formalisme (le mot "astuce" n'était pas judicieux) et de connaissances, cela peut etre vraiment étranger à l'esprit...

Malgré tout je suis sur que si j'avais tenté de le faire un peu "à l'ancienne", sans contourner la définition du segment, cela aurait été beacoup plus laborieux, et peut-être même moins clair... Le fait est que quand on contourne la def du segment, on éclaire moins quelque part qu'en revenant sur la def de l'intervalle, néanmoins la deuxieme démonstration éclaire quand meme sur certains points, puisquelle répond à la question....

Je suis plein de conflits encéphaliques ce soir, veuillez m'en excuser...

Cordialement, le dadaiste

PS : je parlais de la "haine" du jury ironiquement évidemment, après tout, ce ne sont que des maths... et surtout ce n'est qu'un oral!

ryo

Je ne l'ai pas mal pris Bruno mais mon implication convexe => connexe me parait a moi bancale pour un jury de capes meme si je sais qu'elle est juste.
Et j'ai l'impression de contourner la difficulte mais apres coup une fois qu'on me l'a fait remarquer d'ou l'utilite de ces remarques.

PS : on aurait besoin de ton avis sur la loi des grands nombres au capes sur un autre fil

le dadaiste

Enfin, la démo de Bruno est bien meilleure, j'espère ne pas avoir donné l'impression de défendre quelque chose, c'était juste des pensées en l'air.

ngb

Merci pour ces explications et je vois maintenant l'intérêt de changer ma définition d'intervalle (ce que je ne voyais pas du tout auparavant) et ainsi de peut être éviter de me faire dépecer ) par le jury.

Cordialement

Bruno

Désolé ryo.

Je suis totalement incompétent sur les chapitres stats, proba et sujets connexes. Je ne peux vraiment pas donner un avis censé sur ce genre de sujet.

Bruno

ngb

Bonjour et désolée de vous embeter à nouveau avec ces intervalles mais avec la "nouvelle définition" d'intervalle j'ai un petit problème.

Comment puis je démontrer qu'alors les intervalles sont forcément de la forme {a} , $\R$ , [a,b], ]-$\infty$,a] , ....

Et est ce que le singleton est considéré comme un intervalle avec cette définition car avec les inégalités strictes je sus un peu génée.

Merci

kilébo

Les intervalles de R n'ont pas forcément cette forme.

ngb

Ah bon?
Pourtant il me semblait que 10 possibilités mais peut etre est ce une erreur.
Pourrais tu expliciter ta réponse?
Merci

ngb

Oups j'ai oublié des mots.
Je voulais dire qu'il me semblait qu'il n'y avait que 10 possibilités d'intervalles.

Domi

Il me semble que kilébo n'a pas vu les points de suspension ( comme moi en première lecture à cause du passage à la ligne ) . Sinon l'intervalle [a,a] fourni aisément le singleton {a} .

Domi

ngb

Bonjour,

Je suis désolée mais je ne vois pas toujours comment démontrer qu'un intervalle est de la forme [a,b] par exemple avec cette définition et encore moins pour le singleton car comment peut trouver x<y dans [a,a]. C'est peut être bête mais je ne le vois pas.

Merci

Bruno

Bonsoir ngb.

Soit un intervalle non vide $I$. Soit il est borné, soit il ne l'est pas.

Supposons qu'il soit borné. Il admet alors une borne inférieure $a$ et une borne supérieure $b$. Si $\{a,b\} \subset I$, il n'y a plus aucun problème : quel que soit $x$ vérifiant $a < x < b$, alors $x \in I$ et $\{x \mid a \leq x \leq b\} \subset I$ et réciproquement, si $x < a$ ou $b < x$, alors $x \notin I$, donc $I \subset \{x \mid a \leq x \leq b\}$. C'est peut être ce dernier ensemble que tu appelles $[a,b]$ ? Les autres démonstrations sont du même acabit.

Bruno

ngb

Merci beaucoup Bruno pour cette réponse très claire.