groupe fondamental

rouquin

Bonjour,

Je considère, dans $\C^2$, un voisinage $V$ de $(0,0)$, "assez petit".

Je me demande ce que valent certains groupes fondamentaux de complémentaires dans V de certaines courbes de $\C^2$.

Par exemple, Si $C_1 = \{ (z_1,z_2) \in V, z_1 = 0\}$ et $C_2 = \{ (z_1,z_2) \in V, z_2 = 0\}$, alors :

quel est le $\pi_1$ de $V \setminus C_1$ ?
De $V \setminus (C_1 \cup C_2)$ ?

Voilà pour quelques exemples faciles, un truc qui m'interesserait plus c'est le $\pi_1$ du complémentaire dans $V d'un cusp $z_1^2 = z_2^3$, i.e. en notant $C_3 = \{ (z_1,z_2) \in V, z_1^2 = z_2^3\}$, je cherche donc :

$\pi_1(V\setminus C_3)$.

Voilà voilà, je vais y reflechir aussi, mais dites-moi ce que vous en pensez.

rouquin

Désolé, petit problème de Latex, mais le message reste visibleen cliquant sur "Code Latex".

Toutes mes excuses.

bisam

Voici le message corrigé (il manquait juste un \$)

---

Bonjour,\\
\\
Je considère, dans $\C^2$, un voisinage $V$ de $(0,0)$, "assez petit".\\
\\
Je me demande ce que valent certains groupes fondamentaux de complémentaires dans $V$ de certaines courbes de $\C^2$.\\
\\
Par exemple, Si $C_1 = \{ (z_1,z_2) \in V, z_1 = 0\}$ et $C_2 = \{ (z_1,z_2) \in V, z_2 = 0\}$, alors \
\\
quel est le $\pi_1$ de $V \setminus C_1$ ?\\
De $V \setminus (C_1 \cup C_2)$ ?\\
\\
Voilà pour quelques exemples faciles, un truc qui m'interesserait plus c'est le $\pi_1$ du complémentaire dans $V$ d'un cusp $z_1^2 = z_2^3$, i.e. en notant $C_3 = \{ (z_1,z_2) \in V, z_1^2 = z_2^3\}$, je cherche donc \
\\
$\pi_1(V\setminus C_3)$.\\
\\
Voilà voilà, je vais y reflechir aussi, mais dites-moi ce que vous en pensez.

marco

Si $V$ est une boule ouverte, je dirais que c'est le groupe libre engendré par 3 elements.

marco

Apres reflexion, je dirais plutot le groupe du noeud de trefle dans $\R^3$.
On considere la transformation $(re^{i\theta},r'e^{i\theta'}) \rightarrow (r',(r^2/r'^3)e^{i\theta},e^{i\theta'})$.
Vu que r et r' ne tendent pas en meme temps vers 0, si r tend vers 0, $r^2/r'^3=0$ et si $r'$ tend vers 0,$r^2/r'^3$ tend vers l'infini. Comme l'ensemble à soustraire est borné $(1,e^{3it},e^{2it})$, je pense qu'on peut se ramener au noeud de trefle.

marco

Mauricio4

Tres belle question! Etudiée par Zariski dans les annees 20.
Il y a deux thms.
Thm 1: Soit (L_t) un pinceau de droite et C une courbe dans un ouvert du plan et S un ouvert de Zariski (ici le complementaire d'une courbe. Alors pour t generique l'application
$$\pi_1(L_t \cap S) \rightarrow \pi_1(S)$$
est surjective.

Pour enoncer le thm 2, remarque que l'on a un fibre dont
la base est un ouvert de C,
la fibre au point $t$ est $\pi_1(L_t \cap S)$
Thm 2. Le quotient de $\pi_1(L_t \cap S)$ pâr l'action de monodromie du fibre ci-dessus est le groupe $\pi_1(S).

Application: Pour deux droites qui s'intersectent transversalement le groupe est $Z^2$.
Pour une parabole semi-cubique le groupe est le groupe de tresses a trois brins.
(Je dois y aller)
Mauricio.

Alain Debreil

Très belle question ! Etudiée par Zariski dans les années 20.
Il y a deux théorèmes.
Thm 1: Soit $(L_t)$ un pinceau de droite et $C$ une courbe dans un ouvert du plan et $S$ un ouvert de Zariski (ici le complémentaire d'une courbe. Alors pour $t$ générique l'application $$\pi_1(L_t \cap S) \rightarrow \pi_1(S)$$ est surjective.

Pour énoncer le thm 2, remarque que l'on a un fibré dont
$\bullet\quad$ la base est un ouvert de C,
$\bullet\quad$ la fibre au point $t$ est $\pi_1(L_t \cap S)$
Thm 2. Le quotient de $\pi_1(L_t \cap S)$ par l'action de monodromie du fibré ci-dessus est le groupe $\pi_1(S)$.

Application: Pour deux droites qui s'intersectent transversalement le groupe est $\Z^2$.
Pour une parabole semi-cubique le groupe est le groupe de tresses à trois brins.
(Je dois y aller)
Mauricio.

rouquin

Oui, en fait, j'avais calculé l'intersection de $z_1^2 = z_2 ^3$ avec une sphère de $\C^2$ et trouvé le résultat comme ça, peu de temps après un ami m'a parlé du théorème de fibration de Milnor, et d'ailleurs je crois maintenant me souvenir que ce problème est au tout début du bouquin de Milnor "Singular points of complex hypersurfaces".

Le truc marrant dans l'histoire, c'est que j'ai pensé à ces exemples en cherchant justement à généraliser le "th 1" de Mauricio à des $\P^k$ au lieu de droites (le mien date de 1937 : "on the Poincaré group...").

De façon générale, Mauricio, c'est assez marrant de voir comment, à partir d'un bête exemple de groupe fondamental (issu de mes préoccupations mathématiques du moment c'est vrai), tu as retrouvé et mis dans ton post presque tous les trucs qui m'interessent : Th de Zariski, pinceaux, monodromie, singularités et leur lien avec les groupes de tresses... C'est rigolo.

A+

Fadalbalakhstan

Une precision culturelle donc inutile: le calcul du groupe fondamental du complementaire d'une hypersurface dans $\mathbb{P}^{n}_{\mathbf{C}}$ se ramene grace au theoreme de Lefschetz sur les sections hyperplanes au calcul du groupe fondamental du complementaire d'une courbe projective plane.
Les groupes que tu cherches a calculer sont donc les seuls "qui en vaillent la peine".

De plus ces groupes sont associes a des "factorisations de monodromie" qui decrivent pleinement l'action de monodromie sur les brins de la courbe. Une idee fondamentale moderne mais non encore pleinement prouvee est que ces factorisations sont des invariants de surfaces: en effet lorsqu'on projette une surface sur un plan on fait apparaitre une courbe plane discriminante. Il y a une conjecture de Chisini (annees 30 aussi) a ce sujet qui est toujours ouverte.

rouquin

Je comprends pas trop, le théorème de Lefschetz que je connais est que l'application de restriction :$H^k(X,\Q) \to H^k(Y,\Q)$ est injective, lorsque X est une variété projective de dimension n, Y une hypersurface, et k

Fadalbalakhstan

<BR>Oui il y a une version en homotopie, sur les groupes d'homotopie relatifs.
<BR>Je l'ecrirai demain, je sais ou le trouver, dans un livre intitule "positivity in algebraic geometry" de Lazarsfeld, tome I.
<BR>
<BR>Quant a la remarque de Mauricio sur le theoreme de Zariski elle ne porte que sur une <B>surjection</B>, pas un isomorphisme. Ca fait une sacree difference, sinon tu t'en doutes qu'apres ca on n'en aurait plus beaucoup parle de ces groupes fondamentaux de complementaires de courbes...<BR>

rouquin

Ok, en effet il y a un chapitre assez peu subtil "théorèmes de Lefschetz" où j'ai entre autres trouvé l'énoncé suivant :

$\pi_k(Y) \to \pi_k(X)$ est surjectif si k

Mauricio4

Fadalba fait allusion au thm de type Zariski-Lefschetz. Si tu veux comprendre pourquoi le thm est vrai en homotopie, je te conseille la lecture de l'article de Bott que tu trouves sur internet (on a theorem of Lefschetz).
Un thm du a Le et Hamm s'énonce de facon vague ainsi
Si X est une hypersurface d'un ouvert de Zariski U de P^n alors la paire (X,U) est n-connexe avec n=dim X.

La chose assez peu etudiée c'est le $\pi_2$. Par exemple prends trois droites dans C^2 on sait que le $pi_2$ est $Z$.
Question: quelle est la classe d'Euler du fibré normal du générateur?

Quand j'etais etudiant j'ai demontre le resultat suivant (non publié donc peut-etre faux ou trivial ...).
Thm: Soit U un ouvert de Zariski de C^2. La classe d'homotopie d'une f:S^2 ->U application est nulle pourvu que la classe d'Euler de son fibré normal le soit.

Je revais d'un thm qui relie la classe d'homotopie de la sphere a cette classe d'Euler. Quand j'etais etudiant je n'avais pas le niveau technique pour le faire et maintenant j'ai trop de choses a faire. Doc si ca t'interesse...

Pour la fibration de Milnor, on peut demontrer un thm de Lefschetz par une variante elementaire de Andreotti Frankel (ca se trouve dans mon article Vanishing cycles in complex symplectic geometry, je crois que je l'ai mis sur ArXiv, je corrige en ce moment quelques details).

Mauricio