Généralisation de l'intégrale de Lebesgue

Sylvain

Bonsoir,

Comme la température est désormais plus clémente, je vous livre comme prévu mes idées sur la théorie de la mesure, qui comme le titre l'indique me permettent de construire une &quotgénéralisation" de l'intégrale de Lebesgue.

Soit $E$ un espace infini, et $\ {(E_{k})}_{k \in \Z}$ une partition de $E$. Soit $f_{k}$ la restriction de $f$ à $E_{k}$, où $f$ est une fonction (complexe) définie sur $E$ entier. Munissons chaque espace $E_{k}$ d'une mesure $\mu_{k}$. Alors:

Si $\displaystyle{I_{E}(f):={\int_{E}^{}f}=\sum_{k}\int_{E_k}f_{k}d\mu_{k}}$ converge, $f$ est dite &quotparfaitement intégrable sur $E$ relativement à $(\mu_{k})_{k \in \Z}$&quot.

Merci à tous de me laisser vos impressions et aux modérateurs de corriger le LaTeX le cas échéant.

Sylvain

Sylvain

le dadaiste

Astu des applications ?

Ily a un truc qui cloche, pour moi en tout cas. Je pense comprendre l'idée, mais n'y a til pas un probleme au niveau de l'intégrale de f ? En effet, la sute des muk ne semble pas être une mesure, alors comment définir la mesure sur laquelle repose l'intégrale de f ? je pense qu'il va falloir définir ca.

Cordialement, le dadaiste

PS : je ne suis qu'en licence et n'ai vu la théorie de la mesure que depuis 2 mois, il ne faut pas trop m'écouter non plus.

Toto.le.zero

Je ne comprends pas en pourquoi tu supposes E infini.

Sylvain

@Toto: c'est en vue d'appliquer cela à un espace de Hilbert, et aussi pour donner une plus grande généralité à la définition.
@le dadaiste: justement, c'est une $\ généralisation$ de l'intégrale. On peux bien sûr &quotconnexifier" les $E_{k}$ par des arcs $a_{k}$, de mesure $\mu_{k}$ nulle pour tout $k$.

Plus concrètement, ce n'est encore que le point de départ d'une théorie personnelle que j'ai envie d'appeler la &quotTopo-Métro-Dynamique&quot.

Sylvain

le dadaiste

Explique moi alors a quoi correspond le :

intégrale f = somme intégrale f / ek => f etc etc

sachant que pour moi l'intégrale de f n'existe pas (faute de mesure).

Je comprends très bien l'idée de proposer une "convergence" au sens d'une suite de mesures sur une partition, mais à ce moment... que dire de f ? qu'elle est intégrable dans un espace non mésuré ? Et meme si cest le cas, comment établir l'égalité, sans la définition de la dite intégrale...

enfin bref, éclaires-moi !

le dadaiste

corentin

Je ne suis pas certain que ce soit une nouveauté.
Si les $E_k$ forment une partition de l'espace, il me semble (j'ai la flemme de vérifier les axiomes) que l'application $\mu$ définie par $\mu(A)=\sum \mu_k(E_k\cap A)$ définit une mesure.
Donc on resterait dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue.

le dadaiste

Ben a ce moment, ca revient a de la convergence 'toute bête', non ?

Smallux

Je pense que corentin à raison cf formule des probabilités totales (et les sytèmes de parties totales lorsque les mesures sont finis il suffit de prendre même pas une partition mais un ensemble de partite disjointe dont la somme des masses est égale à la masse de l' espace totale)

Sylvain

Ok, merci à tous. Désolé de ma naïveté, mais je n'ai assisté qu'à quelques cours de théorie de la mesure faute de temps, et ne peux donc tout connaître à ce sujet. Mais je tiens à préciser que la définition ci-dessus n'est encore qu'une ébauche d'un projet long et sans doute périlleux. Bon samedi !

le dadaiste

bon courage !

rémi

Sylvain, si tu veux vraiment te lancer dans ce genre de chose. Pour moi c'est un travail de recherche et ça nécéssite les méthodes que l'on peut rencontrer à ce niveau. Quand je dis ça je pense en particulier qu'il faut être extrêmement béton sur les théories que tu étudies (être capable de les enseigner à d'autres), il faut un degré de compréhension élevé qui ne s'acquiert quand même pas très rapidement.
De plus, avant de t'attaquer à ce genre de chose, je pense qu'il serait utile de voir un peu tous ce qui a pu être fait sur la théorie de l'intégrale (Riemann, Lebesgue, Henstock et d'autres) ce qui laisse quand même pas mal de boulot avant même de vouloir s'attaquer au problème proprement dit.
Je comprends ton impatience à vouloir essayer mais à mon avis il faut savoir passer du sur ce que je t'ai dis avant de te lancer vraiment.

josé

jrwjgfxng

Sylvain

Merci rémi de tes conseils avisés.
@josé: si tu as voulu être plus obscur que moi, c'est réussi, alors félicitations !
:-)

Eric

Il ya déjà des généralisations de l'intégrale de Lebesgue : les intégrales de Denjoy, Perron, Henstock (qui sont équivalentes). Tu devrais commencer par voir de ce côté, par exemple dans le bouquin de Gordon <a href=" http://www.ams.org/bookstore?fn=20&arg1=gsmseries&item=GSM-4"&gt; http://www.ams.org/bookstore?fn=20&arg1=gsmseries&item=GSM-4</a>.<BR&gt;

Sylvain

Merci Eric. Je vais regarder ça de près.

majdi0

Salut,

L'additivité dénombrable de l'expression donnée par corentin est bien vérifiée (sauf erreur de ma part) on a donc bien une mesure sur E.

+