groupes à 4 éléments

B_J

Bonsoir
Dans un exercice sur les groupes, on demande de montrer qu'il n'existe que deux sortes de groupes a quatre éléments .
Z/4Z en est un .
Je n'arrive pas à trouver l'autre .
Merci d'avance.

josé

$\Z$/2$\Z$x$\Z$/2$\Z$ ?

Yama

Ca commence par un K...

st-thomas

Suite aux remarques sur l'attitude du jury envers les "vieux" candidats, je me pose des questions : j'ai plus de 40 ans, je me retrouve admissible, par hasard ou par l'effet d'un bug quelconque, et je me demande si l'expérience de l'oral cette année ne serait pas de nature à me dégoûter définitivement des maths. Se planter, ce n'est pas grave, mais se faire humilier, c'est plus ennuyeux....
Quelqu'un aurait-il une opinion, voire une expérience qui pourrait m'éclairer ?

D'avance merci.

st-thomas

Suite aux remarques sur l'attitude du jury envers les "vieux" candidats, je me pose des questions : j'ai plus de 40 ans, je me retrouve admissible, par hasard ou par l'effet d'un bug quelconque, et je me demande si l'expérience de l'oral cette année ne serait pas de nature à me dégoûter définitivement des maths. Se planter, ce n'est pas grave, mais se faire humilier, c'est plus ennuyeux....
Quelqu'un aurait-il une opinion, voire une expérience qui pourrait m'éclairer ?

D'avance merci.

st-thomas

Suite aux remarques sur l'attitude du jury envers les "vieux" candidats, je me pose des questions : j'ai plus de 40 ans, je me retrouve admissible, par hasard ou par l'effet d'un bug quelconque, et je me demande si l'expérience de l'oral cette année ne serait pas de nature à me dégoûter définitivement des maths. Se planter, ce n'est pas grave, mais se faire humilier, c'est plus ennuyeux....
Quelqu'un aurait-il une opinion, voire une expérience qui pourrait m'éclairer ?

D'avance merci.

st-thomas

Suite aux remarques sur l'attitude du jury envers les "vieux" candidats, je me pose des questions : j'ai plus de 40 ans, je me retrouve admissible, par hasard ou par l'effet d'un bug quelconque, et je me demande si l'expérience de l'oral cette année ne serait pas de nature à me dégoûter définitivement des maths. Se planter, ce n'est pas grave, mais se faire humilier, c'est plus ennuyeux....
Quelqu'un aurait-il une opinion, voire une expérience qui pourrait m'éclairer ?

D'avance merci.

le dadaiste

décomposition en produit d'invariants, non ? on parle a isomorphisme près je suppose...

Sylvain

Il s'agit du groupe de Klein (vierergruppe, je crois, en allemand).

Alain Debreil

Bonsoir B_J

Pour résoudre ce genre d'exercice, il faut se souvenir d'un corollaire du théorème de Lagrange :
Tout élément d'un groupe fini a un ordre qui divise l'ordre du groupe.

Ici ton groupe $G$ est d'ordre $4$. Les diviseurs de $4$ sont $\{1, 2, 4\}$.
Voyons les cas successivement :
$\bullet\quad$ Si $G$ admet un élément $a$ d'ordre 4, alors les éléments $a, a^2, a^3, a^4=1$ sont 4 éléments de ton groupe (loi de composition interne) donc c'est $G$ qui est donc cyclique d'ordre 4 engendré par $a$. On a coutume de noter $G \simeq \Z/4\Z$
$\bullet\quad$ Maintenant $G$ n'admet pas d'élément d'ordre 4, donc à part le neutre, ils sont tous d'ordre 2 et $G=\{1, a, b, c\}$, avec $a^2=b^2=c^2=1$. Mais cela n'est rien d'autre que l'espace vectoriel de dimension 2 sur le corps à 2 éléments, c'est à dire $G \simeq (\Z/2\Z)^2$

Et on a fait le tour des possibilités.
Alain

//e

Sinon, plus élémentaire: constituer la table de Pythagore (plus long aussi)...

B_J

merci beaucoup pour vos reponses.
PS: c'est quoi un groupe de Klein ?

jobherzt

{\bf le} groupe de Klein, c'est justement le groupe que tu cherchais : $Z_2 \times Z_2$

B_J

ok merci beaucoup