Transposée et Diagonalisabilité

léo2

Bonsoir

Méfions nous des intuitions et des a priori ...le mien étant que si M est diagonale alors sa transposée également (en écrivant M= P D P-1 et en prenant la transposée)
Alors ca me semble presque trop simple et beau pour être vrai: quelqu'un pour in/affirmer?

merci d'avance pour toutes vos contributions...

Pilz

C'est vrai pas de problème, on a même plus fort $M$ et sa transposée sont semblables!

GLaG

Encore mieux : elles sont égales (M est diagonale, dans l'énoncé de leo) !

Pilz

Oui , enfin je suppose que Leo voulait dire diagonalisable...

léo2

en effet diagonalisable!...sinon il est clair qu'il n'y a aucun problème...

bon alors cet exo d'Oral Centrale, pas trop d'interet!!!

kilébo

Pourquoi $M$ et $^{t}\!M$ serait semblable ?

alekk

parce que c'est vrai pour les blocs de Jordan, et dans le cas où le corps où on travaille n'est pas algébriquement clos, on se place dans une extension qui l'est, et on revient ensuite au corps de base (car si deux matrices de $M_n(K)$ sont semblables dans $M_n(L)$, où $L$ est une extension de $K$, alors les matrices sont aussi semblables dans $M_n(K)$)

...

Ou par Frobenius

Titou0

alekk : pour revenir au corps de base, tu as besoin du lemme écrit entre parenthèses. Or la démo de ce lemme repose sur Frobenius (dans le cas d'un corps quelconque)...

Donc autant utiliser les invariants de similitude tout de suite et directement, au lieu de les utiliser de façon cachée dans ce lemme qui n'est pas trivial

Benzin !

Cela dit, bien sûr, pour le problème initial de Léo, sa démonstration est parfaitement suffisante.

Elle cache une réalité géométrique : si une base diagonalise un endomorphisme, la base duale diagonalise l'adjoint formel. Dit comme ça, ça a l'air tout compliqué, mais c'est une trivialité une fois le vocabulaire digéré.

Donc oui, léo, tu as raison. Cela dit, les invariants de similitude, c'est bel et bon. Là, ça ne sert pas à grand chose, mais c'est super cool.

Prenons quand même garde à ne pas invoquer Azdébaroth pour descendre d'un arbre.