Caractère irréductible

Bonjour à tous,

Voilà, si on considère un groupe fini, et une classe de conjugaison de G non réduite à un élément, et on considère un caractère irréductible de G qui soit non-trivial, alors est ce que forcément, l'image de tout (ou d'un seul puisque le caractère est constant sur une classe de conj.) élément de cette classe de conjugaison est différent de 1 s'il est non nul ?


En gros si le caractère ne s'annule pas sur cette classe, est ce que forcément il ne peut pas valoir 1 ? Si oui pourquoi ?

Merci bien bas.

Réponses

  • Juste une question pour bien comprendre : un caractère est un homomorphisme d'un GAF $G$ dans $\C^{*}$. Ainsi, $\chi(1_{G}) = 1$. D'où ma question : peut-on avoir $\chi(g) \not = 1$ pour tout $g \in G$ ?

    Suis-je à côté de la plaque ?

    Borde.
  • @borde : La définition que tu donnes n'est valable que pour les groupes abéliens. La définition générale est la suivante :
    Si on a une représentation de $G$ (ie. un morphisme $\rho : G\to GL_n(\C)$) , son caractère est la fonction qui à $g$ associe la trace de $\rho(g)$. On s'intéresse plus particulièrement aux caractères des représentations irréductibles (ie. où il n'y a pas de sous-espace stable non trivial par l'image de $G$). Ces représentations sont de dimension 1 dans le cas d'un groupe abélien, ce qui permet de retrouver ta définition.


    @toto : Bien sûr qu'un caractère non trivial peut valoir 1. Prends par exemple le groupe $\Sigma_n$ et la représentation de dimension 1 donnée par la signature. Elle vaut 1 sur le groupe alterné, qui contient des classes de conjugaison non triviales.
    À moins que j'ai mal compris la question ?

  • $\frak{S}_n$
  • OK, merci Lyoa !

    Borde.
  • Supposons que la classe de conjugaison en question soit de cardinal une puissance d'un nombre premier. Est ce que ce que j'ai dit plus haut est valable ?
  • laissez tomber, je résoudrai cette question tout seul.
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