théorème de convergence

Bonjour

Dans $\R$ on sait que si l' on à une suite $(x_{n})$ et un réelle $x$ telle que de toute sous suite on sait extraire une sous suite qui vonverge vers $x$ alors $(x_{n})$ converge vers $x$.

d 'autre part on sait que s 'il l' on se donne une suite $X_{n}$ de variables
aléatoires qui converge en probabilités vers une variables aléatoires $X$
alors on peut extraire de toute sous-suite de $X_{n}$ une suite qui converge presque surement cependant $X_{n}$ ne convergera pas presque surement.

Je ne comprend pas pourquoi mais je pense que cela est du au fait qu' on ne peut pas définir une topologie de la convergence presque sur.

Est-ce juste?

merci d 'avance

Réponses

  • Je crois qu'on peut définir une topologie de la convergence presque sure (elle est moche).
    Personnellement, je n'ai pas d'explication théorique, mais j'ai un contre exemple intéressant, déja donné plusieurs fois ici.
    On prend des fonctions définies sur $[0,1]$ par $f_{\frac{n(n+1)}{2}+k}=1_{[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]}$.
    Il est clair que ces fonctions tendent en proba vers $0$, et même dans $L^1$.
    Par contre tu vérifieras que $\limsup f_n=1$, et ce en tout point.
    Ce que dit ce contre exemple, c'est que même si l'ensemble des points où $f$ est non nulle est très minoritaire, rien ne l'empêche de balayer tout le domaine de définition "périodiquement", de telle sorte qu'au final on n'a pas de convergence presque sure.
  • merci pour le contre exemple mais le théorème que j' ai cité dans le cas de $\R$ doit être vrai dès que l' espace topologique considéré est séparé
    ce qui n' est pas le cas des espaces avec la convergences presque sur si on suppose qu' il y une topologie dessus d' ou l' explication recherché
    et la nouvelle question.
    quelle est la topologie de la convergence presque sur.
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