Géométrie associée à une métrique

Laurent24

Bonjour à tous !

Quelqu'un aurait-il une idée de la géométrie que l'on a sur le demi-plan de Poincaré (y>0) quand on y met la métrique :
ds² = (dx² + dy²)/y^n, où n est un entier naturel ?

Merci d'avance !
Cordialement,
Laurent

Laurent24

Pour ce qui est de n=0 et n=2, evidemment on a la géométrie euclidienne standard et celle du demi-plan de Poincaré, mais au-delà ? ...

Laurent24

Ca n'a pas l'air de passionner les foules, mon problème de métrique riemanienne....

egoroff

Bonsoir Laurent,

Si si, c'est une question très intéressante, mais de peur de dire des bêtises j'ai préféré attendre que des gens qualifiés te répondent. Mais pour patienter je me lance : on doit obtenir une surface à courbure négative non constante (mais constante sur les droites d'équations $y=k$). De plus pour $n < 2$ elle est "bornée vers le bas" et pour $n > 2$ elle est "bornée vers le haut" si tu vois ce que je veux dire.

Laurent24

Oui, je vois ce que tu veux dire ergoroff... attendons d'autres avis pour compléter ce problème, je pense qu'il risque d'y en avoir !! En fait, j'ai écrit l'équations des géodésiques du demi-plan muni de cette métrique, et j'obtiens :
x-x0 = primitive de y^(n/2) / racine (k-y^n), en considérant y en fonction de x... est-ce que cela dit quelque chose à quelqu'un ?
De plus, je ne suis pas vraiment habitué à déduire une "géométrie" d'une métrique, mais j'imagine qu'il y a des gens ici qui peuvent m'expliquer !

Laurent24

Oui, je vois ce que tu veux dire ergoroff... attendons d'autres avis pour compléter ce problème, je pense qu'il risque d'y en avoir !! En fait, j'ai écrit l'équations des géodésiques du demi-plan muni de cette métrique, et j'obtiens :
x-x0 = primitive de y^(n/2) / racine (k-y^n), en considérant y en fonction de x... est-ce que cela dit quelque chose à quelqu'un ?
De plus, je ne suis pas vraiment habitué à déduire une "géométrie" d'une métrique, mais j'imagine qu'il y a des gens ici qui peuvent m'expliquer !

Laurent24

Oui, je vois ce que tu veux dire ergoroff... attendons d'autres avis pour compléter ce problème, je pense qu'il risque d'y en avoir !! En fait, j'ai écrit l'équations des géodésiques du demi-plan muni de cette métrique, et j'obtiens :
x-x0 = primitive de y^(n/2) / racine (k-y^n), en considérant y en fonction de x... est-ce que cela dit quelque chose à quelqu'un ?
De plus, je ne suis pas vraiment habitué à déduire une "géométrie" d'une métrique, mais j'imagine qu'il y a des gens ici qui peuvent m'expliquer !

Laurent24

Oui, je vois ce que tu veux dire Ergoroff... Attendons d'autres avis pour compléter ce problème, je pense qu'il risque d'y en avoir !!
<BR>En fait, j'ai écrit l'équation des géodésiques du demi-plan muni de cette métrique, et j'obtiens : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="151" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/3/89479/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle x-x0 = \int \frac{y^{n/2}}{\sqrt{k-y^n}}$"></DIV><P></P>en considérant <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/3/89479/cv/img2.png&quot; ALT="$ y$"></SPAN> en fonction de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/3/89479/cv/img3.png&quot; ALT="$ x$"></SPAN>...
<BR>Est-ce que cela dit quelque chose à quelqu'un ?
<BR>De plus, je ne suis pas vraiment habitué à déduire une "géométrie" d'une métrique, mais j'imagine qu'il y a des gens ici qui peuvent m'expliquer !<BR>

Bruno

Pour suivre.

Laurent24

En fait, je pense que le groupe des isométries risque d'être sans doute très petit, vue la grande contrainte que l'on met sur la métrique, mais il y a sans doute quelque chose d'intéressant à "creuser", non ?
Si il y a un spécialiste dans la salle.......

Alain Debreil

Oui, je vois ce que tu veux dire Ergoroff... Attendons d'autres avis pour compléter ce problème, je pense qu'il risque d'y en avoir !!
En fait, j'ai écrit l'équation des géodésiques du demi-plan muni de cette métrique, et j'obtiens : $$ x-x0 = \int \frac{y^{n/2}}{\sqrt{k-y^n}}$$ en considérant $y$ en fonction de $x$...
Est-ce que cela dit quelque chose à quelqu'un ?
De plus, je ne suis pas vraiment habitué à déduire une "géométrie" d'une métrique, mais j'imagine qu'il y a des gens ici qui peuvent m'expliquer !

egoroff

Toujours pas de spécialiste apparemment.. dommage.


J'ai moi aussi dérivé une équation pour les géodésiques mais c'est un système couplé d'équations différentielles non linéaires du second ordre en $x(t)$ et $y(t)$ et en plus j'ai l'impression qu'il est faux donc je ne le recopie pas. Je pense que je n'ai pas employé la bonne méthode ; pourrais-tu m'exposer la tienne s'il-te-plaît ?


Pour la courbure gaussienne je trouve $K=-ny^{n-2}/2$ "comme prévu" au sens ou ça marche pour $n=0,2$ et c'est négatif pour $n > 0$ ; ça te paraît bon ?

Laurent24

En fait, j'ai trouvé comme équation des géodésiques :

2yy" + ny'² + n = 0

J'ai posé z=y'
Puis u= z², en considérant z en fonction de y...
Il y a déjà un post là-dessus, que j'avais proposé, intitulé "Une équation différentielle non linéaire" où on m'avait proposé cette approche !!! (merci à tous d'ailleurs)
Pour ce qui est de la courbure de Gauss, ça me semble bon !
Dommage qu'il n'y ait pas un grand spécialise de géométrie ici... peut-être se manifestera-t-il ?!

Laurent24

Ah oui, j'ai oublié de te dire, egoroff, j'ai utilisé les équations d'Euler-Lagrange pour trouver l'équation des géodésiques.

egoroff

Ah merci Laurent, j'aurais dû y penser. Je ne sais pas pourquoi mais j'ai voulu utiliser la définition "locale" des géodésiques avec la dérivée covariante et du coup je suis parti dans un délire totalement délirant avec des symboles de Christoffel à foison.. bref.

Sylvain

J'ai sans doute fait de la géo diff dans une vie antérieure, mais il ne m'en reste plus grand-chose...;-)
Mais le fait que le groupe des isométries soit petit, Laurent, m'incite à penser qu'il y a peut-être un opérateur compact là-dessous: je n'en sais rien c'est juste une idée comme ça.
Physiquement, ça doit être extrêmement important, je pense. C'est tout ce que je peux en dire, malheureusement. Oyez, oyez, braves gens ! Des spécialistes de la relativité générale sont mandés !

Tu pourrais peut-être contacter un autre Laurent, Laurent Nottale, qui est rappelons-le astrophysicien...Dis-lui que c'est moi qui t'envoies. :-)

Sylvain

P.S: question peut-être stupide, mais...si on ne se limite pas aux naturels ? n=+1/2 ou n=-1/2 par exemple ? Oui, je pense au spin !

Sylvain

Encore une idée en l'air: le groupe modulaire ne serait peut-être pas étranger à l'affaire ?

Mauricio4

c'est interessant, je pense que tu devrais commencer par te poser la question pour la metrique
dx^2+dy^2/(y^2+ty^3)
ou t est un petit parametre.
Comment se comportent les geodesiques? Ca vaut la peine d'etre etudie.
M.

Sylvain

Mauricio, ne manque-t'il pas des parenthèses encadrant (dx²+dy²) pour être cohérent avec la question de Laurent ?

Une idée qui vaut ce qu'elle vaut pour rebondir sur ta proposition: si on prenait t=2Pi/Omega(M), avec M un &quotgrand" entier naturel, et Omega la fonction &quotdimension" ?
En LaTeX:

$$t:=\frac{2\pi}{\Omega(M)}$$
avec $\displaystyle{\Omega(M)=\sum_{p}v_{p}(M)}$ où $p$ parcourt l'ensemble des naturels premiers. On pourrait distinguer les cas selon la valeur de la fonction de Möbius en M.

Sylvain

Sylvain

Laurent24

Je fais remonter ce post... si quelqu'un sait comment calculer le groupe d'isométrie associé à une métrique sur R², je suis preneur !
Pour ce qui est de ta proposition ,Sylvain, je ne vois pas trop à quoi cela servirait, si tu peux expliciter ta pensée.... j'en serai ravi !

Laurent24

Rebonjour à tous !
Ayant écrit le système d'équations différentielles des géodésiques du demi-plan de Poincaré, en fonction des coefficients de la première forme fondamentale, j'obtiens :
yx" - x'y' =0
2yy"+x'²-y'² = 0

Et cela me semble faux, vue que par les équations d'Euler-Lagrange et un calcul direct, je trouve 2yy" + 2y'² + 2=0 (en prenant y en fonction de x)
Quelqu'un trouvera-t-il mon erreur ? Ou bien est-ce que ce système implique cette équation différentielle ? Il y a peut-être un jeu entre les dérivées par rapport à t et celles par rapport à x...
Si quelqu'un a une idée !
Merci à tous !

Laurent

Laurent24

Erratum, j'ai réussi à résoudre le problème.... il s'agissait bien de bidouillage finalement pas très dur sur des composées de dérivations !