R² vs R^3

Franck-Eustache

bonjour à tous,

Je lance ce post uniquement dans le but de collecter un maximum de propriétés de $\R^n$vraies (resp fausses) pour n=2 puis fausses (resp vraies) pour n>2.

POur l'instant ce qui me vient à l'esprit est :

- $S^n$ simplement connexe pour n>2 et pas pour n=2

- On peut munir $\R^2$ d'une structure de corps commutatif.

- L'orthogonal d'un hyper-plan de $\R^2$ est un hyper-plan.

- question ouverte "existe-t-il un polynome de $\R[X_1,..,X_n]$ qui envoie surjectivement $\Z^n$ sur $\N$ ? faux pour n=1 vrai pour n>2... ouvert pour n=2.


t-mouss

Benzin !

La première est erronée : S² est simplement connexe. Il ne faut pas oublier que S², c'est la sphère unité de R³.

marco

Toute fonction differentiable de $\R^n$ dans $\R^n$ dont la differentielle est une similitude est une composée d'inversions: vrai pour n>2, faux pour n=2 (les fonctions holomorphes).

marco

Richard André-Jeannin

Salut t-mouss.
L'histoire du polynôme me chagrine: P(X)=X² n'est-il pas une surjection de Z sur N?

Foudroyant

Il existe une application linéaire injective du premier ds le second, mais, me semble-t-il, pas du second dans le premier.