Topologies et théorie des modèles

Bonjour
Les topologies sont définies comme un couple $(E,R)$ où $R$ est une famille de parties de $E$ et 4 axiomes. Donc on ne peut pas formaliser les topologies par une théorie du premier ordre. On considère des topologies induites, des isomorphismes entre topologies.
Comment formalise t'on cela dans la théorie des modèles ?
Rien que pour les 4 axiomes, ca ne parait pas simple. Quel serait alors l'ordre de la théorie associée, peut on parler de sa cohérence ? (puisqu'on connait des topologies, elle parait assurée, mais a t'on toujours l'équivalence consistance-cohérence à cet ordre?), sa complétude ?
Arthas

Réponses

  • Je vois que le sujet t'intéresse. Il faut avant tout saisir que ce n'est pas la théorie (au sens de la théorie des modèles) qui admet un ordre, mais ce sont les différentes logiques. A ce titre, on peut étudier les modèles (ici les espaces topologiques) qui vérifient les axiomes d'une topologie, dans un langage adéquat (ça doit pas être facile à trouver en dehors du langage de la théorie des ensembles), en utilisant n'importe quelle logique.
    Mais ta question doit être : quelles sont les logiques pertinentes pour étudier les axiomes de la topologie? Je vais essayer de te convaincre que ce n'est pas une bonne question. Les axiomes de la topologie s'écrivent dans le langage de la théorie des ensembles de façon très naturelle, il n'est donc pas besoin d'étudier ces axiomes indépendement de cette théorie. Et la théorie des ensembles s'étudie naturellement avec la logique du premier ordre, c'est même sont plus grand atout, elle permet de faire toutes les mathématiques formelles à l'ordre 1.
    Pour ce qu'y est de la cohérence des axiomes, elle est claire comme tu le fait remarquer : $(\{0\},\{\emptyset,\{0\}\})$ est un modèle pour les axiomes d'une topologie.
    Pour ce qu'y est de leur consistance, elle est claire aussi, grâce au théorème de complétude de Gôdel, que tu a l'air de connaître, si on admet la non-contradiction de la théorie des ensembles ( je te conseille de te t'assoir un moment pour réfléchir à toutes les nuances).
    Pour ce qui est de la complétude, elle n'est clairement pas vérifiée : il existe des modèles non isomorphe pour les axiomes d'une topologie.

    Je suis à ton service pour toute forme d'éclairsicement.
    Cordiallement, jean-c_rien.
  • Bonjour jean-c_rien.

    La formalisation de la topologie ne nécessite-t-elle pas un langage du second ordre au moins ? On a besoin de variables pour désigner les sous-ensembles de l'espace et de variables pour désigner les points du même espace ?

    Bruno
  • Bonjour Bruno,

    non, y'a pas besoin, la règle à retenir est : si c'est formalisable, on peu le formaliser dans le langage des ensembles, et raisonner en logique d'ordre 1 sur un modèle de la théorie des ensembles. Le problème de l'ordre d'une logique est un vrai faux problème.
    A mon humble avis, ce genre de (faux) problème ne disparaitrons de l'esprit des mathématiciens que quand le langage de la théorie des catégories viendra accompagner celui de la théorie des ensembles dans l'enseignement des mathématiques. On saisit mieux le fait qu'il y est LA logique mathématiques, mais des notions variables de vérité adaptés à chaques problèmes (cf la théorie des topos).

    PS: c'est la logique, et rien d'autres, qui admet un ordre.
  • Bonjour
    Alors, comment différentier les variables des éléments de l'espace et des sous ensembes de l'espace?
    Arthas
  • C'est vrai, j'aurai du être plus explicite sur ce point :
    On ne les différentie pas dans le langage des ensembles! Car tout est ensemble dans cette théorie. C'est moi, mathématicien, qui interprête (le plus joli mot du dictionnaire du mathématicien) tel ou tel ensemble comme un objet de tel ou tel type, mais comme la théorie des ensembles est là pour simuler la logiques des ordres, je stationne en fait toujours sur le type ensemble, donc je reste à l'ordre 1. Si on veut voir la topologie de façon plus intrinsèque, il faut utiliser le langage des catégories, la théorie des modèles n'est pas la bonne arme.
    J'éspère que cette fois j'était compréhensible.
  • Salut,

    je pense qu'il y a un mal-entendu. Arthas demande une modélisation de la théorie des espaces topologiques en théorie des modèles, en restant dans {\bf notre} univers.

    Jean-c_rien propose une modélisation au niveau d'un univers de $ZF$, donc à un niveau différent de notre univers.

    C'est comme demander si on peut modéliser la théorie des groupes en théorie des modèles et répondre "oui, car $ZF$ le fait" (d'ailleurs, $ZF$ modèlise {\bf sa} théorie des groupes et {\bf sa} théorie des espaces topologiques, uniquement.)

    Ainsi pour répondre pleinement, comme l'a indiqué Bruno, il faut la logique du second ordre pour modéliser en théorie des modèles et à notre niveau les epaces toplogiques.

    La puissance de $ZF$ est que, moyennant le changement de niveau (ce qui n'est pas rien), on peut tout modéliser au premier ordre.

    J'en profite d'ailleurs pour remettre ce que j'avais écrit sur $ZF$:

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=288247&t=287172#reply_288247

    @l
  • Bonjour @!

    qu'est ce que tu appelle notre univers
  • Notre univers est le monde mathématique habituel. Comme je l'ai expliqué dans le lien que j'ai mis, les axiomes de $ZF$ s'appliquent à un modèle (dans un ensemble de notre univers).
    Ainsi tout ce qui est dit dans $ZF$ est vrai pour quelqu'un vivant dans un modèle de $ZF$ (à condition qu'il en existe un) mais pas forcément pour nous. (Là encore, j'ai précisé tout ça dans le lien)

    @l
  • Pardon, j'avais zapé ton lien.

    Je suis tout à fait d'accord avec le début de ton post : un univers est une structure comme une autre; ça raison d'être est de représenter l'idée intuitive d'ensemble; et à ce tite les éléments d'un univers ne sont pas "nos" ensembles. Je ne l'aurais pas dit mieux. Mais il ne faudrait pas croire que "nos" ensembles sont des objets fixes déterminés pour toujours, ce sont des objets abstrait dont le mathématicien à le droit de penser ce qu'il veux. La communauté mathématique fait que l'intuition de ce qu'est un ensemble est assez bien partagée par tous les mathématiciens, ce qui donne l'illusion de profonde connaissance. On m'a déjà fait remarquer que des gens très bien ne pensait pas ça, ces gens très bien sont surement les platoniciens, c'est-à-dire à peu près tout le monde. La vérité est que la majorité des gens, même très bien, ne connaisse du théorème d'incomplétude que les arguments de Gödel (et encore), et ne voit pas qu'il ne fait que dire la chose trivial suivante : toute théorie illimitée (ie avec laquelle on peut tout faire) est ESSENTIELLEMENT incomplète, donc on ne peux pas avoir accès à ces modèles, quels qu'il soit, que ce soit sur le papier ou dans nos esprit (à moins que nos esprit ne communique aves un super ordinateur divin, après tout j'ai pas d'argument contre). En termes plus humain, de l'infini il n'existe qu'un concept flou, mais c'est tout ce dont le mathématicien à besoin, depuis le temps qu'on tord ce concept dans tous les sens, il nous paraît moins flou, plus familié.

    Une autre remarque, un modèle est par définition un ensemble... A méditer.
  • Bonsoir
    Merci pour les éclaircissements. Si on utilise une logique du premier ordre pour décrire une topologie dans la théorie des modèles, je me demande comment on peut formaliser dans ce cadre :
    - un sous espace topologique
    - un morphisme (en particulier plongements et isomorphismes)
    en prolongeant les définitions à l'ordre 1, de manière à obtenir la définition habituelle en topologie des sous espaces topologiques, topologies induites et des morphismes (basés sur la continuité).

    Je me pose les mêmes questions pour un espace probabilisé, ou d'autres structures mettant en jeu des sous ensembles ou plusieurs ensembles, voire d'autres structures préexistentes.
    Arthas.
    "Tous les hommes sont isomorphes."
  • Bonsoir Arthas

    Pourrais-tu m'éclaircir sur ce que tu entends (je veux dire intuitivement) par modèle d'une topologie : un espace topologique décrit formellement; ou l'ensemble des espaces topologiques et les relations entre eux. Jai l'impression qu'on est pas sur la même longueur d'onde.

    PS: as-tu reçu mon mail?
    PS2: j'aime bien la fin du message, dans le même goût j'aimerait cité Denis Guedj : "différent ne veut pas dire inégal".
  • Bonjour
    <BR>Dans tous les cours que j'ai vu sur la théorie des modèles, on parle en premier lieu de structures du type (E,F,R,C) où F est une famille de fonctions, R une famille de relations et C une famille de constantes.
    <BR>On définit les morphismes, sous structures etc. Puis on définit un language où on peut écrire des énoncés et enfin la satisfaction.
    <BR>Peut on le faire de la même manière pour une structure du type (E,T) où T est une famille de parties de E ?
    <BR>Dans ce language, on peut alors par exemple définir les 4 axiomes de la topologie, en ayant auparavant défini l'union, l'intersection, l'ensemble vide...
    <BR>Alors, un modèle de topologie est une structure (E,T) où les 4 axiomes sont satisfaits.
    <BR>Mais c'est ma version, je ne sais pas ce qu'il en ait vraiment.
    <BR>Arthas
    <BR>
    <BR>PS : J'ai recu le mail, mais je ne sais pas si j'aurais le temps de lire deux livres.<BR><BR><BR>
  • Bonjour,

    Qui me m'expliquer à quoi sert la logique du second ordre, voire d'ordre supérieur ? De mon temps, les choses étaient plus simples. Le développement de ZF, tout comme celui de von Neumann-Bernays, ne nécessite qu'une logique du premier ordre, non ! Alors, pourquoi chercher plus loin ?

    Merci de vos réponses.
  • Bonjour Prudence.

    Ben, tout simplement, l'énoncé disant qu'un groupe est de torsion (avec les notations évidentes) :$$\forall\,x \exists n \in \N \quad x^n = e$$l'ensemble des entiers est étranger à la théorie des groupes et on a a priori besoin d'un type de variables entières et d'un type de variables ordinaires. Alors que dire que tout élément d'un groupe est d'ordre $n$ {\bf fixé} est du premier ordre, on a besoin d'un symbole fonctionnel supplémentaire pour représenter l'application qui à $x$ associe $x^n$.

    On peut ruser en introduisant un symbole relationnel $E$ qui qui est interprété par $E(x) :: \text{"moi }x\text{ je suis un entier}$ mais il est clair qu'interpréter ce nouveau symbole fonctionnel dans un modèle ça va créer quelques surprises.

    Bruno
  • bonjour,
    je pense que Prudence voulait dire qu'avec ZF, on pouvait à la fois parler d'entiers, de groupes, de groupes de torsion, etc, et ceci, dans un langage standard du 1er ordre, alors que Bruno prend l'expression "théorie des groupes" au sens technique de langage du 1er ordre restreint à un symbole fonctionnel de poids 2. Suis-je à l'ouest ? :)
  • Bonjour
    je pense que considérer la topologie à l'intérieur de ZF peut simplifier pas mal de choses, mais on peut perdre en généralité, je vais essayer de trouver des espaces topologiques en dehors de ZF (dont l'espace n'est pas un ensemble de ZF) (je crois qu'on est alors obligé de considérer l'union etc comme des objets intuitifs).
    Arthas
  • Bonjour Arthas,

    je crois que je viens enfin de saisir quels détours de la pensée on bien pu t'ammener à te poser cette question. J'imagine un peu ce genre d'idée : en théorie des ensembles, on a des ensembles, mais pas d'ensemble de tous les ensembles, or je peu en parler, donc la théorie des ensembles n'a pas une porté générale en mathématiques; y'a des trucs qui sorte du cadre, et si y'a bien un truc qui semble être plus général que les ensembles, c'est bien les espaces topologiques. Est-ce que ça ressemble à ça ou est ce que je me plante lamentablement? (en tout cas si c'est ça le sujet mérite certainement un sujet autonome)

    Mais revenons à la question, considérer une formalisation de la topologie indépendante de la théorie des ensembles. Faire ça avec la théorie des modèles c'est bourin... mais c'est possible! Et t'as même de façon de t'y prendre :
    - faire un modèle, dont le domaine est un ensemble (intuitif!), de toute façon tu pourras pas y échapper, qui contient des machins qu'on appellera espaces topologiques, et t'as plus qu'à trouver un langage et des axiomes adéquats (t'en fait pas t'as le choix, 5 ou 6 milliards d'infinités au bas mots). Et ce que tu va obtenir c'est une théorie rigoureusement équivalente à ZF, en particulier tu pourra raisonner à l'ordre 1, la belle affaire.
    - ou alors tu considère chaque modèle d'espace topologique indépendemment, mais sans utiliser le concept d'ensemble parceque quand même faut être réglo (encore une fois je te laisse t'ammuser pour trouver un langage adapté), et tu laisse tourner le formalisme de la théorie des modèles. Et quel est l'ordre nécéssaire pour retrouver tous les résultats de la topologie classique? L'ordre 2? Que nenni, et le fait qu'on est d'une part les points de l'espace et de l'autre les parties de l'espace n'a pas grand chose a voir avec le problème. Le problème c'est que maintenant que tu n'as plus ZF pour simuler la logique des ordres, il faut aller au charbon à travers les ordres pour retrouver toute la puissance du raisonnement mathématiques. On pourrait m'objecter que le théorème d'élimination des coupures à son mot à dire, qu'après tout il arrive qu'on monte dans les niveaus alors que ce n'est pas nécéssaire, certes, mais interdire l'utilisation des coupures c'est signer l'arrêt de mort des mathématiques; et même avec ça je vois pas trops de raison pour laquelle l'ordre 2 suffirait.

    Bien sûr, on peu faire encore autrement. On peut utiliser le langage des catégories qui plane à mille lieus au dessus de ces considérations. Car comme dirait Jean Benabou (un spécialiste qui fascine par son érudition) et bien d'autre, les catégories devrait être enseigné au jardin d'enfant, ce qu'est pas aussi ironique que ça en à l'air.

    Cordiallement, jean-c_rien
  • Salut,

    je vais essayer d'être plus clair dans ce que j'ai dit.

    Oublions $ZF$ un instant. Plaçons nous avant que quelqu'un n'en parle. Il existait déjà la théorie des modèles (enfin un embryon mais bon, c'est pas grave).
    En effet, la théorie des modèles c'est quoi? C'est la donnée d'un ensemble infini (j'ai dit que $ZF$ n'existait donc pas de "mauvais" réflexe en pensant ensemble=$ZF$ :-) ) de symboles (le langage), la donnée d'une interprétation de ce langage sur d'autres ensembles de base (on obtient une structure), la donnée d'un autre ensemble de formules closes bien formées (une théorie) et enfin la donnée d'une notion de satisfaction d'une formule par une structure.

    Tout ça, correspond à une définition très classique de mathématique, genre un espace topologique, c'est la donnée d'un ensemble de base $E$ et d'un ensemble de parties de $E$ tel que etc ....

    Ainsi la théorie des modèles permet de modéliser, par exemple:

    - la théorie des groupes
    - la théorie des corps
    - la théorie des ensembles ordonnés
    - la géométrie réelle (les corps réels clos), etc.....

    Par contre, par définition des formules bien fondées, on ne peut pas représenter les théorie des espaces topologiques grâce à la théorie des modèles (c.f le message de Bruno).
    D'ailleurs toujours par rapport au message de Bruno, on peut montrer que la théorie des modèles ne permet pas de modéliser la théorie des groupes de torsion.
    En effet, supposons qu'il existe un langage $L$ contenant au moins un symbole de fonction binaire, $*$ qui va correspondre à l'opération de groupe ainsi qu'une constante $e$, qui va correspondre au neutre du groupe et une théorie $T$ dans $L$ telle que

    une $L$-structure $\mathcal{M}$ est un modèle de $T$ si et seulement si $\mathcal{M}$ est un groupe de torsion.

    Considérons le langage
    $$L'=L\cup \{c\}$$
    , $c$ étant un symbole de constante et la théorie
    $$T'=T\cup\{c^n\neq e; n\in \N\}$$

    (On ajoute ainsi à $T$ un schéma d'axiomes)

    $T'$ est finiment consistante. En effet, pour tout $n\in \N$, on peut construire un groupe de torsion avec un élément de torsion égal au moins à $n$. Ainsi $T'$ est consistante, c'est-à-dire qu'il existe en fait un modèle de $T$ qui contient un élément $c$ qui n'a pas de torsion... C'est impossible vu la définition de $T$.

    On peut faire la même chose avec les espaces topologiques mais c'est un peu plus compliqué.

    Maintenant, un jour, on s'est dit que ça serait intéressant de mimer le fonctionnement de nos ensembles habituels grâce à la théorie des modèles. On invente donc $ZF$. $ZF$ est une théorie comme les autres.
    Les "ensembles" dans $ZF$ sont en fait les éléments d'un modèle de $ZF$.

    Il se trouve que $ZF$ permet à l'intérieur de chacun de ses modèles de recréer une théorie des espaces topologiques, une théorie des groupes... et même une théorie des modèles. Mais les théories ainsi recréées ne sont pas nos théories, c'est plus compliqué que ça (cf mon ancien message, surtout la fin avec le "pantographe").

    @l
  • Serait-ce une exhortation à quitter le paradis ? :)
  • Bonjour
    Donc la théorie des modèles ne peut décrire qu'une classe particulière de structures, muni d'un language etc.
    Cependant, j'ai l'impression qu'il y a toujours un point commun entre les structures que décrit la théorie des modèles et d'autres types de théories :
    - on définit morphismes et sous-structures en théorie des modèles,
    - en topologie, on a également défini des morphismes (par les applications continues) et les topologies induites comme sous-topologies,
    - dans les espaces probabilisés, peut-être peut-on dire qu'un morphisme est une application conservant la probabilité (?), et la probabilité conditionelle comme sous probabilité.
    On peut retrouver ce genre d'analogie dans d'autres théories (graphes,..).
    Je me demande s'il y a un lien caché entre toutes ces structures où s'il s'agit d'une simple coincidence.
    Merci, Arthas.
  • Je pense que la théorie des catégories doit répondre à tes attentes.
    <BR>
    <BR>Sinon, pour le lien entre théorie des modèles et probabilités, je signale entre autres ces travaux:

    <BR>Itay Ben-Yaacov. Schrödinger's cat.
    <BR>Israel Journal of Mathematics
    <BR>(page Web: <a href = "http://www.math.wisc.edu/~pezz/"&gt; http://www.math.wisc.edu/~pezz/ </a>)
    <BR>
    <BR>@l&lt;BR>
  • Merci infiniment @!,

    Je n'avais jusqu'à présent que des raisons très personnelles de détester la théorie des modèles (j'était tombé amoureux d'elle et elle ma trahit en me cachant la Vérité), alors merci de renforcer ma haine, je n'aurais jamais soupçonné quelle était aussi restrictive par principe (à ce propos je trouve la preuve tout-à-fait jolie, ce qui est encore plus jouissif). Et pardon de l'interprétation que j'ai faite de la fin de ton post, je me rends compte que ça ne colle pas avec ce que t'as écris d'autre et que je partage à 200%. A telle point que je serais plus qu'intéréssé de connaître la façon dont tu ressens les objets mathématiques intuitifs.

    En espérant que ma question ne soit pas indiscrête (et quelle admette une réponse en français d'ailleurs).
    jean-c_rien
  • Bonsoir (je rentre de la féria :),
    depuis quelques temps, les catégories m'attirent, je vais m'y mettre mais pas avant deux semaines.
    J'espère qu'elles aporteront des réponses à certaines de mes questions.
    A propos de la démo, pouvez vous me dire ce que signifie théorie "finement consistante".
    Merci, Arthas.
  • Salut,

    pour jean-c_rien, merci beaucoup mais en fait, je ne fais que mon 'boulot': je fais de la recherche à cheval entre la logique et l'analyse, plus précisément de l'analyse non-standard. Or il faut avoir une assez bonne représentation de ce qui se passe dans $ZF$ pour pouvoir travailler.
    Sinon, la théorie des modèles est un domaine très fécond, non seulement en concepts mais aussi pour les autres domaines des mathématiques. Par exemple, dans mon domaine, les analyses dites non-standards sont de plus en plus prisées par les géométres réels, par exemple.
    Donc il ne faut pas rejeter en bloc la théorie des modèles, mais évidemment, ce n'est pas une panacée, contrairement à ce que beaucoup de personnes ont fait croire.

    Pour Arthas: j'ai écrit 'finiment consistant', c'est-à-dire que toutes les parties finies de $T'$ sont consistantes.

    Sinon, je dirais que, à mon sens, la théorie des catégories et la théorie des ensembles doivent se compléter: la première donne une vision 'dynamique' des mathématiques, les objets importants étant les morphismes. La seconde donne une vision plus 'statique' (sans être péjoratif') des mathématiques.
    Toujours à mon sens, l'une ne peut aller sans l'autre.

    @l
  • Bonjour,

    Ce n'est pas la théorie des modèles qui pose problème, car elle est nécessaire, mais bien la théorie des catégories qui ne sert franchement à rien du tout. On peut se demander d'où vient un tel engouement pour ce tas de m???? que l'on ose appeler théorie des catégories.
  • Bonjour Prudence,

    je ne sait pas quoi penser de ton dernier post. Comment peux-tu affirmer que la théorie des modèles est indispensable alors qu'elle ne sert à rien dans la pratique des mathématiques, et dans le même temps affirmer que la théorie des catégories ne sert à rien alors quelle est tout-à-fait indispensable dans diverses branche des mathématiques.

    Je m'intéroge.
  • Les grands résultats obtenus dans la théorie de la démonstration l'ont été grâce à la théorie des modèles. En revanche, cite-moi un seul résultat dû à la théorie des catégories. Je trouve que c'est une perte de temps grandiose que de s'attarder à étudier la théorie des catégories. Les catégories n'apportent rien d'innovant en Mathématiques.
  • Pardon d'avance pour ma méchanceté.

    Cite-moi un seul résultat dû à la théorie de la démonstration, elle a beau être très rigolote, elle n'est capable de démontrer que des choses que l'on sait déjà, et surtout, elle ne permet pas de faire évoluer la façon dans nous pensons les mathématiques, ce qui à mon sens est une énorme brèche ; elle n'est même pas capable de jeter un éclairage nouveau sur les grands théorèmes limitatifs ni même de rendre plus sensible la notion de vérité. non mais qu'est-ce que c'est que ce tas de m????.
    En revanche la théorie des catégories s'impose comme l'une des plus grande révolution conceptuelle de notre temps. Ces applications sont nombreuses, variées (et même légendaire comme dirait la regrettée Marie-Alice Young de Desperate Housewives). Essaie un peu de faire n'importe quoi d'un peu sophistiqué avec n'importe quoi qui touche à l'algèbre (ça fait quand même du monde). Regarde, parmi les dernières Médailles Fields, quelle proportion de travaux utilise le langage des catégories de façon essentielle (ce qui donne en plus une bonne occasion d'être chauvin). Regarde encore les applications conceptuelles de cette théorie chez MacLaine ou Lawvere. Regarde, évidement, les travaux de Grothendieck ; et songe un instant que cette théorie a même des applications en informatique.
    Personnellement, maintenant que je sais ce que sont des foncteurs adjoints, je ne me sens plus capable de vivre sans cette théorie.

    En espérant que ça reste suffisamment cordial, jean-c_rien.
  • Bonjour,

    Pour résumer, tu dis notamment que les résultats de Kurt Gödel et de Paul J. Cohen ne servent à rien pour ce qui est de l'indécidabilité de l'ypothèse généralisée du continu dans ZF par exemple. Mais, si Cantor avait connu ces résultats, je pense qu'il n'aurait pas perdu son temps comme il l'a fait. Idem pout Hilbert.

    Pour ce qui est des catégories, tu ne m'a rien donné de probant. Mais vraiment rien du tout. Heureusement que les algébristes n'ont pas attendu les fameuses avancés sur les catégories pour effectuer leurs recherches. Sinon, je ne sais pas où on en serait aujourd'hui ! Pour finir, les pouf????? de "desperate housewives" ne m'intéressent pas du tout. J'ai franchement autre chose à faire.

    Merci
  • Bonjour,

    je dois avouer que tu fais des insultes à la recherche d'une très grande qualité. Cantor qui perd son temps, non mais qu'est ce qu'y faut pas entendre. Il nous a offert un langage sensationel et ultrapuissant, s'il n'avait pas perdu son temps comme tu dis, nous n'en serions très probablement pas là aujourd'hui. Il avait même essentiellement réglé le cas de l'incomplétude, y a déjà tout dans la formule card A < card P(A), Gödel n'a fait qu'en donner une démonstration que même l'intuitionniste le plus indécrotable ne pouvait pas refuser (ce qu'est tout de même génial et très drôle quand on y pense).

    Ha, l'hypothèse du continu, je trouve le résultat intéréssant, mais tu devrais te rendre compte que ce n'est pas un résultat de mathématiques mais de logique. Par dessus le marché, la preuve est rédigée en termes de modèles parce que c'est tout ce dont on disposait à l'époque. Il faudrait me trouver des résultats qui n'ont pas atteint l'âge de la retraite, ça serait plus régulier.

    Un peu d'histoire :
    A qui doit-on le calcul différentiel et intégral ? A Newton ou à Leibniz ? A Newton bien sûr, il avait déjà tout fini avant que Leibniz ne commence. Sauf que Leibniz a inventé autre chose : un langage, qui fût et reste encore aujourd'hui le meilleur guide pour l'intuition. Il est absurde de dire que Leibniz n'a fait que répéter ce qu'on savait déjà parcequ'on peut tout réécrire façon Newton, sans Leibniz on serait encore à l'âge de pierre des mathématiques.
    La morale de l'histoire :
    La façon dont on écrit les mathématiques est aussi importante que ce qu'on écrit. Et ça vaut aussi pour les catégories, on peut s'en passer, mais elles sont un guide très sûr pour l'esprit.

    PS : du temps où Desperate Housewives passait en prime time sur Canal+, j'était content de ne pas payer cette chaîne pour devoir me taper des séries débiles. Puis j'ai vu le premier épisodes gratuitement (mis à part la pub) sur M6, et depuis je suis à croc. Comme quoi, faut se méfier des idées reçues. Tout ça pour dire que j'ai l'impression que tes réponses ne font que traduire un dégoùt personnelle des catégories plus qu'une réelle conviction de leur inéficacité (affirmer que des Médailles Fields c'est pas un argument ça ressemble un peu à de la mauvaise foi). A vrai dire je suis assez embarassé de me retrouver au beau milieu d'un débat idéologique. En tout cas si tu connaît la raison de cette aversion, je serais sincèrement intéréssé de la connaîte, car s'il y a bien une chose avec laquelle je suis tout-à-fait d'accord, c'est que la théorie des catégories est très mal présentées dans la plupart des bouquins (ils donnent vraiment l'impression qu'elle n'est qu'un "abstract nonsense"). Donc si ça te dit de participer à l'évolution de la pédagogie de l'enseignement des catégories, t'as plus qu'à répondre. Merci d'avance.

    Cordiallement, jean-c_rien.
  • Je pense que me suis mal exprimée. J'ai dit que si Cantor avait connu les résultats établis par Gödel et Cohen, alors il aurait pu économiser le temps qu'il a passé à vouloir montrer en vain l'hypothèse du continu. Il est donc inutile de me rappeler l'hystorique, je connais ! C'est drôle, mais la grande majorité des logiciens (que je connais) prétendent connaître ce que Gödel a écrit par exemple, mais en creusant un peu, on se rend compte qu'ils ne retiennent que le résultat, et c'est tout. Les métathéorèmes de Gödel et Cohen sont loin d'être aussi évidents que tu le penses, surtout pour l'époque. Et en dépit de ce que pensait Gödel, ses résultats ne se sont pas aussi "constructifs" qu'il le croyait. D'ailleurs, cette ineptie demeure encore chez beaucoup de logiciens aujourd'hui, et pour cause. Il faut lire ce qui est écrit pour s'en rendre compte, mais cela demande beaucoup d'efforts. Enfin, la théorie de la démonstration a eu un grand impact en Informatique. Pour finir, a qui est dû cette allusion à "nonsense abstract" sur les catégories ?
  • "J'ai dit que si Cantor avait connu les résultats établis par Gödel et Cohen, alors il aurait pu économiser le temps qu'il a passé à vouloir montrer en vain l'hypothèse du continu"
    S'il n'avait pas fait ça on n'aurait pas cherché plus loin; C'est un peu comme si on avait pas passé plus de 2000 ans à essayer de démontrer le 5ème postulat d'Euclide en vain, on aurait pas connu la géométrie non-euclidienne

    "Il est donc inutile de me rappeler l'hystorique, je connais !"
    Faut pas se vexer, pourquoi essairai-je de blésser un inconnu.

    "C'est drôle, mais la grande majorité des logiciens (que je connais) prétendent connaître ce que Gödel a écrit par exemple, mais en creusant un peu, on se rend compte qu'ils ne retiennent que le résultat, et c'est tout. Les métathéorèmes de Gödel et Cohen sont loin d'être aussi évidents que tu le penses, surtout pour l'époque."
    "surtout pour l'époque" ça c'est clair. Moi ce qui me pose problème c'est quand on demande à un logicien d'où qu'est ce donc que ça vient le théorème d'incomplétude et qu'il commence par nous expliquer avec précision la numérotation de Gödel et tout le tralala. J'ai affirmé que le théorème d'incomplétude était trivial et je répète avec autant de conviction qu'il est possible que ce théorème est une pure trivialité : essaye de jeter un coups d'oeuil à la fin du "Conceptual Mathematics" de Lawvere et Schanuel pour une démonstration en béton parfaitement claire en quelques lignes.
    Pour les travaux sur la puissance du continu, loin de moi l'idée de les quallifiers de triviaux (le dossier n'est d'ailleurs toujours pas clos de nos jour). A ce propos le terme "métathéorème" est le terme historique, mais les résultats en question ne sont que de simples théorèmes de théorie des ensembles dans les mathématiques d'aujourd'hui.

    "Et en dépit de ce que pensait Gödel, ses résultats ne se sont pas aussi "constructifs" qu'il le croyait."
    C'est tout à fait exact, mais ils l'étaient suffisament pour que tous les protestataires remballent leurs billes.

    "D'ailleurs, cette ineptie demeure encore chez beaucoup de logiciens aujourd'hui, et pour cause."
    De quelles causes parles-tu?

    "Il faut lire ce qui est écrit pour s'en rendre compte, mais cela demande beaucoup d'efforts."
    C'est pas la peine de m'agresser ouvertement. Je ne doute pas un instant que tu soit quelqu'un de bien, mais ça m'oblige pas à être d'accord avec toi. Et rassure toi ça me chiffone pas du tout que tu ne soit pas de mon avis. Si c'est mes petites phrases du genre "Pardon d'avance pour ma méchanceté." qui ton fait penser que j'étais un garçon belliqueux, j'en suis très désolé.

    "Enfin, la théorie de la démonstration a eu un grand impact en Informatique."
    Et la théorie des catégories a un grand impact sur elle aujourd'hui, donc... 1 partout la balle au centre.

    "Pour finir, a qui est dû cette allusion à "nonsense abstract" sur les catégories ?"
    Probablement Norman Steenrod, mais on peut jamais être sûr. D'ailleurs c'est "abstract nonsense".

    Cordiallement (c'est sincère), jean-c_rien
  • J'ai trouvé votre joute oratoire sur internet. Ce qui m'a intéressé c'est la phrase "les résultats de Goedel et Cohen n'ont rien apporté concernant l'hypothèse du continu". En fait, c'est ce que je crois. Ce qu'ils ont apporté, me semble-t-il, c'est de montrer que le formalisme standard de la logique ne permet pas de tirer une conclusion valable concernant ce problème. J'ai aussi été étonné de constater que votre discussion est en fait une guerre de religion. C'est beau la recherche !
  • Parmi les travaux récents faisant usage des catégories citons:
    Toute l'algèbre homologique telle qu'elle a été pratiquée durant la 2ème partie du 20ème siècle, permettant de nombreux progrès en géométrie, algébrique ou même différentielle.(Théorie des faisceaux, suites spectrales, etc), en topologie algébrique.
    @Prudence: Es-tu au courant de ces travaux? Es-tu conscient des mathématiciens qui y ont participé et que tu insultes indirectement(Serre, Grothendieck, Cartan,...)?
    Quelle est ton expérience des Mathématiques?
  • Ce qui m'a intéressé c'est la phrase "les résultats de Goedel et Cohen n'ont rien apporté concernant l'hypothèse du continu". En fait, c'est ce que je crois. Ce qu'ils ont apporté, me semble-t-il, c'est de montrer que le formalisme standard de la logique ne permet pas de tirer une conclusion valable concernant ce problème**. J'ai aussi été étonné de constater que votre discussion est en fait une guerre de religion. C'est beau la recherche !

    Ya longtemps que j'avais eu l'occasion de renvoyer à "Astérix aux jeux olympiques" et le passage sur la cueillette des champignons...


    Rappel: en maths rien n'est trivial et toute démonstration apporte quelque chose, de valeur variable...


    Sur de nombreux forums, on voit des discussions approximatives et des "idioties" assez typiques et récurrentes proférées par des techniciens non logiciens (mais qui doivent savoir faire des maths calculatoires par ailleurs)... En particulier, encore trop de gens confondent "vrai" et "démontrable" (ya qu'à lire les fils sur les conjecture arithmétiques ici même)

    Et plus généralement, il ya un "fait" historique intéressant encore à élucider: pourquoi une part non négligeable des matheux (non logiciens) font-ils ce complexe, et pérennisent-ils une sorte de "bouclier" anti-logique?

    Une toute petite partie de la réponse est apportée par la relation "maths=logique appliquée", mais ça ne met pas plus les matheux en danger d'être vassalisés par les logiciens que les physiciens ne sont en danger d'être "vassalisés" par les matheux... Il doit donc y avoir autre chose..

    ** et bé: et le "formalisme standard des maths" apporterait-il une solution "à ce problème"? (Hyp Cont sous -entendu)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Prudence, tu as vachement tort, la theorie des categories est tout ce qu'il y'a de beau en mathematiques ... Dans un premier temps, on commence par acquerir des notions de bases du style : terminologie , definitions de nouvels objets qu'on a pas l'habitude de voir avant ( c'est ce point là qui embete et qui fait que tout le monde fuit ce domaine ) , après ça devient le top de plaisir quant on la reflète aux autres disciplines mathematiques, on comprends systématiquement son utilité ... Il faut pas se laisser croire que c'est ennuyeux ... j'te dis au debut c'est ennuyeux parcequ'on ne fait que apprendre les notions de base et qui sont en grand quantité en fait ... mais après, on commence à comprendre à quoi elle sert ... barre ces idées de ta tête .. Elle est très utile en algèbre homologique, en topologie algebrique, en geometrie algebrqiue ... etc. J'avoue j'ai pas beaucoup de prerequis suffisants pour parler de ces disciplines mathematiques mais j'ai une idée suffisemment clair de ce que represente cette discipline en mathematiques ... Enlève ces idées de ta tête !
    Cordialement !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.