Hommage à Catalan (1814-1894)

Norbert Verdier0

Bonjour à tous;

Chaque mois, je propose de rendre hommage à un mathématicien. Ce mois, un hommage combinatoire à Catalan (Cf. Bibliographie). Né le 30 mai à Bruges, il a aujourd'hui 192 ans.

La question : si Pn désigne le nombre de triangulations d'un polygone plan convexe au moyen de diagonales qui ne se rencontrent pas en dehors des sommets alors démontre que :
Pn+1 = Pn + P3 Pn-1 + P4 Pn-2 + P5 Pn-3 + …+ Pn-3 P5 + Pn-2P4 + Pn-1 P3 + Pn (identité de Segner)
ou encore que :
Pn+1 = (4n-6)/n Pn (identité de Euler)

Comment passer (simplement) de l'une à l'autre ? En déduire la valeur de Pn.

Bibliographie : Jongmans, J., Eugène Catalan, Géomètre sans patrie, Républicain sans république, Société Belge des Professeurs de Mathématique d'expression française, 1996.

Prochain hommage : Guillaume Hoüel (le 14 juin), décédé, il y a 120 ans.

Bien à vous. Norbert Verdier.

Toto.le.zero

Par récurrence je suppose ?

Guimauve0

C'est quoi une triangulation ?

Richard André-Jeannin

Personnellement, je préfère sa constante.

Sylvain

Quelle admirable symétrie ! Je propose de partir de l'identité de Segner pour aboutir à celle de notre maître à tous et de procéder en sommant n fois, un peu comme pour les sommes de progressions arithmétiques. J'espère ne pas dire trop de bêtises malgré l'heure tardive.

Pilz

Pour compléter ce qui a été dit si on pose $C_n=\frac{C_{2n-2}^{n-1}}{n}$ ce sont les nombres de Catalan qui interviennent dans pleins de problèmes combinatoires: Le nombre de triangulation d'un polygone convexe à $n$ côtés, effectué à l' aide de diagonales non couconrantes est $C_{n-1}$.

Et puis il y a aussi l' admirable conjecture de Catalan qui a été démontrée il y a peu je crois: les seuls puissances parfaites séparés de $1$ sont $8$ et $9$.

Sylvain

L'identité d'Euler m'indique que $P_3=1$.

On a d'après Segner: $$P_{n+1}=2P_n+\sum_{k=1}^{n-3}P_{n-k}P_{k+2}$$ Et je n'ai pas le temps de continuer...:-(

Sylvain

bs1

bonjour

ainsi que le préconise Guimauve ce serait plus parlant de dessiner les différents cas de triangulation pour le triangle(1), carré(2),pentagone(5) et hexagone(14) ; je ne sais pas faire ça sur ordinateur.

comme le mentionne pilz,ces nombres interviennent dans différents problèmes de combinatoire:théorie des graphes,déplacements de la tour sur un échiquier,structure des nombres de Bell,..., et aussi le nombre de parenthésages ( ça je sais car c'est un de mes développements pour la leçon combinatoire/dénombrement, au cas où ...,on a le droit de rêver encore quelques heures)

pour Sylvain: j'utilise les séries formelles pour calculer ta somme (je n'ai pas trouvé tout seul); on calcule :
S(X)= 1/2 . [ 1 -$ (1 - 4.X)^(1/2)$] ; lis (1 - 4X) puissance 1/2 ,mon latex n'est pas encore au point, ça va venir
je connaîs 2 livres résolvant ce pb dans le cas du parenthésage ;

NV saura expliquer beaucoup mieux que moi la solution

quel dommage que ce sujet consacré à Catalan rencontre moins de succès qu'un autre sujet people et polémique consacré également à Catalan .

Alain Debreil

$S(X)= \frac{1}{2} \left( 1 - \sqrt{1 - 4X}\right) $