D'où viennent les axiomes d'une topologie

ashigabou

Salut,

J'avais deja posé quelques questions de nature topologique il y a quelques mois, ne connaissant rien à la théorie générale. Depuis, j'ai eu l'occasion de me jeter sur quelques cours basiques, et j'ai maintenant en tête quelques concepts basiques (compact, espaces de Haussdorf, topologie produit, etc...).

Il y a un truc que je m'explique pas, pourtant: d'ou viennent les axiomes de topologie (clos par intersection finie, réunion quelconque) ? J'essaie de voir comment généraliser à partir des espaces métriques, et comment définir "près de", mais je vois pas vraiment.

Bref, comment est apparue la théorie générale de topologie ?

le poulpe

tu pars d'un evn mettons

tu peux montrer que les ouverts sont stables par réunion quelconque et par intersection finie

il est alors logique de généraliser cette propriété aux espaces ne possédant pas de norme (ou de métrique).

C'est un peu comme quand tu remarques que les ensembles Z/nZ, S_n, et autres ont en commun les propriétés des groupes, tu définis alors un groupe comme un ensemble muni d'une loi vérifiant les mêmes propriétés

majdi0

Salut,

Dieudonné a écrit un ouvrage: Une brève histoire de la topologie.

Peut être y trouveras tu les réponses aux questions que tu te poses.

majdi

+

ashigabou

Je me suis mal exprime. Bien sur, je comprends bien pourquoi axiomatiser en etant le plus general possible. Typiquement, l'axiomatisation de groupe m'avait toujours paru "evidente".

En fait, je me demande un peu comment, historiquement, on en est arrive aux notions topologiques les plus generales ? C'est peut etre parce que j'ai pas encore vraiment travaille dedans, mais la plupart des notions ne me paraissent pas super intuitives.

La notion d'ouvert associee a celle de voisinage, la, ok, ca me parle. Le critere de Hausdorff aussi. Mais deja, ferme definie comme complement d'ouvert, ca me parle moins; comment est venue la notion de compact ? Celle de topologie produit (a partir des rectangles) ?

...

Pour la topo produit ce que l'on veut étant donné X et Y deux espaces topologiques.
C'est que les projections (XxY->X et XxY->Y) soient continues
de la tu prends un ouvert de X et un ouvert de Y et tu regardes les images réciproques par les projections tu fais leur intersection et tu comprendras pourquoi on utilise des rectangles.

Pour compact regarde plein d'exemples et tu finiras par comprendre :
par exemple pourquoi l'image d'un compact dans R par une fonction continue est bornée et atteint ses bornes.
Et seul ces quelques axiomes sont nécessaires.

kilébo

Je n'ai pas beaucoup d'informations à te donner à ce sujet sur le comment on est arrivé à cette série d'axiome qui sont à la fois simples mais d'une puissance inoïe. Tout ce que je peux te dire, pour l'avoir lu je ne sais où, c'est que ces axiomes sont le fruits de nombreuses années de réflexions (Réflexion que je suppose collective).

Ce que je peux dire aussi c'est qu'au départ, les mathématiciens avaient imaginés partir de la notion de voisinage (qui est effectivement la notion la plus naturelle quand on parle de topologie). Notamment, dire que l'intersection finis de voisinage est un voisinage. Qu'un ensemble contenant un voisinage est un voisinage etc... Mais cela s'est avéré rapidement stérile et l'idée d'ouvert est apparue après avoir fait le constat de cette stérilité...

J'espère ne pas être ne dehors de clous à la fois historiquement et à la fois pour ce qui d'avoir répondu à ta question (je l'ai compris comme historique et non comme une question sur un point que tu n'avais pas compris).

le dadaiste

"La naissance de la topologie est directement liée à l'étude des ensembles des nombres réels. Un premier signe fut certainement la définition de la notion de point d'accumulation par Weierstrass vers 1860 (qui démontra que tout ensemble de nombres réels infini borné admet au moins un point d'accumulation, résultat admis auparavant).
Ce point de vue un peu étroit tomba ensuite en désuétude. Ce n'est qu'en 1906, à force d'étudier des ensembles de plus en plus abstraits, qu'apparut la notion de distance, introduite par Fréchet. La notion d'espace topologique général ne naquit qu'en 1914 grâce à Hausdorff qui définit la notion de voisinage.
Le développement des espaces vectoriels normés (en particulier en dimensions infinies) est d'abord dû à Hilbert; Banach compléta largement cette théorie dans les anénes 1930.
La notion d'ensemble compact, en germe dès 1900, se développa avec Borel et Lesbesgue grâce aux considérations liées à la théorie d ela mesure."


Cordialement, le dadaiste

jean-c_rien1

Voici nos problèmes :
- {1} ne "touche" aucun des points de ]0,1[, mais il touche ]0,1[
- {1} est contenu dans l'ensemble [0,1], il touche un de ces points, il touche [0,1], mais il n'est pas "dans" [0,1]
- {1} ne touche pas [0,2], mais il touche une partie de [0,2] ([0,1] ou{1} par exemple)

Voici nos solutions :
- associer à 1 l'ensemble des parties telles que 1 est dedans, ce qui débouche sur le point de vu voisinage, qui permet de s'occuper de tous les cas où ne s'occupe que du point 1 (ça devient vite malcomode si on n'espère déduire des faits généraux)
- associer à l'espace tout entier une structure qui représentera cette notion de toucher. Cette notion, c'est la frontière.

Or donc, j'ai une partie A, A a une frontière, qui délimite les points dans A (intérieur de A), les points hors de A (extérieur de A), et les points qui touchent A (la frontière elle-même); et j'ai ainsi une partition de mon espace.
Certes, mais comment définir la frontière. Et pourquoi ne pas essayer d'utiliser int A par exemple? c'est bien naturel. int A a une propriété assez remarquable, il ne contient aucun point qui le touche, autrement dit tout point contenu dans l'ensemble A est dans (sens fort) la partie A (j'enchène les tautologies). Appelons ca un ouvert, et remarquons tout de suite que ext A est aussi un ouvert, c'est toujours aussi trivial : puisque la moidre des choses est bien que la frontière de A soit aussi la fontière de tout ce qui n'est pas dans A.
J'ai une autre partie, disons B, remarquable, à savoir l'union de A (ou int A) avec sa frontière. En effet tout point qui touche une partie de B (dont les singletonts font parties) est dans B. En effet, tout point qui touche A est dans B car B contient la frontière de A, et tout point qui est dans la frontière de A touche la frontière de A, c'est bien naturel. Appelons une telle partie un fermé, et remarquons tout de suite que B est le complémentaire de ext A, qui est un ouvert.
Ce phénomène est-il général? Assurement oui : un ouvert, c'est ce qui ne contient pas les points qui le touche, autrement dit les points frontières, or le complémentaire de A est dans ce cas l'union de ext A et de la frontière commune à A et ext A, c'est donc un fermé. De même, si j'ai un fermé B, il contient sa frontière avec son complémentaire, qui ne contient pas de point frontière puisqu'il sont dans B, donc le complémentaire est un ouvert.
Or donc, la frontière de A est un fermé moins un ouvert, à savoir le plus petit fermé contenant A, et le plus grand ouvert contenu dans A (ce genre d'idée marchait déjà bien en théorie de la mesure). Mais attendez voir, toute frontière est déterminée à partir de l'ensemble des fermés et de l'ensemble des ouvets, et l'ensemble des fermés est déterminé à partir des ouverts :
Et voici mon espace topologique.

Utilisateur anonyme

Pourtant je crois qu'historiquement ce sont les fermes qui sont apparus en premier ... essaie de te procurer Hocking & Young (Topology). En ce qui concerne la topologie generale, c'est de loin ce qu'il y a de plus lumineux ( s'abstenir pour la topologie algebrique, la presentation est brumeuse et contient des fautes fondamentales, voir mes deux posts sur sci.math a ce sujet ).

ashigabou

"Je n'ai pas beaucoup d'informations à te donner à ce sujet sur le comment on est arrivé à cette série d'axiome qui sont à la fois simples mais d'une puissance inoïe. Tout ce que je peux te dire, pour l'avoir lu je ne sais où, c'est que ces axiomes sont le fruits de nombreuses années de réflexions (Réflexion que je suppose collective)."

C'est tout a fait ca, tu as bien resume le sens de ma question. Je trouve ainsi assez extraordinaire d'avoir a partir des axiomes d'une topologie + quelques trivialites sur les images reciproques par des fonctions une definition generale de continuite applicable dans des espaces generaux, la definition de limite, etc...

Par contre, je ne comprends pas la remarque concernant la sterilite de la notion de voisinage ? Elle doit etre equivalent a la notion d'ouverts, non (dans le sens ou on peut retrouver les axiomes des ouverts a partir de ceux des voisinages et reciproquement ?

" Or donc, j'ai une partie A, A a une frontière, qui délimite les points dans A (intérieur de A), les points hors de A (extérieur de A), et les points qui touchent A (la frontière elle-même); et j'ai ainsi une partition de mon espace.
Certes, mais comment définir la frontière. Et pourquoi ne pas essayer d'utiliser int A par exemple? c'est bien naturel. int A a une propriété assez remarquable, il ne contient aucun point qui le touche, autrement dit tout point contenu dans l'ensemble A est dans (sens fort) la partie A (j'enchène les tautologies). Appelons ca un ouvert, et remarquons tout de suite que ext A est aussi un ouvert, c'est toujours aussi trivial : puisque la moidre des choses est bien que la frontière de A soit aussi la fontière de tout ce qui n'est pas dans A.
J'ai une autre partie, disons B, remarquable, à savoir l'union de A (ou int A) avec sa frontière. En effet tout point qui touche une partie de B (dont les singletonts font parties) est dans B. En effet, tout point qui touche A est dans B car B contient la frontière de A, et tout point qui est dans la frontière de A touche la frontière de A, c'est bien naturel. Appelons une telle partie un fermé, et remarquons tout de suite que B est le complémentaire de ext A, qui est un ouvert.
Ce phénomène est-il général? Assurement oui : un ouvert, c'est ce qui ne contient pas les points qui le touche, autrement dit les points frontières, or le complémentaire de A est dans ce cas l'union de ext A et de la frontière commune à A et ext A, c'est donc un fermé. De même, si j'ai un fermé B, il contient sa frontière avec son complémentaire, qui ne contient pas de point frontière puisqu'il sont dans B, donc le complémentaire est un ouvert.
Or donc, la frontière de A est un fermé moins un ouvert, à savoir le plus petit fermé contenant A, et le plus grand ouvert contenu dans A (ce genre d'idée marchait déjà bien en théorie de la mesure). Mais attendez voir, toute frontière est déterminée à partir de l'ensemble des fermés et de l'ensemble des ouvets, et l'ensemble des fermés est déterminé à partir des ouverts :
Et voici mon espace topologique."

J'aime bien cette explication, ca me fait mieux sentir la notion de ferme dans le sens general (ie sans distance, ou ces concepts sont nettement plus facile a voir, quand meme). Sur les tautologies, je pense qu'une fois que l'on a compris une theorie mathematique, ca ne devient plus qu'une tautologie. C'est meme a ca que j'ai tendance a juger esthetiquement une theorie mathematique: reussir a "trivialiser" des notions complexes.

ashigabou

J'oubliais, merci a toutes les reponses; j'espere trouver ces bouquins a la bibliotheque de l'universite (le dieudonne, j'y crois pas trop, le truc en anglais deja un peu plus...)

kilébo

Ce qui est stérile ce n'est pas la notion de voisinage en elle-même qui est fondamentale ! C'est d'avoir voulu batir la notion d'espace topologique à partir de cette notion qui s'est avéré stérile. Aujourd'hui on fait le contraire : on définit les ouverts et ensuite la notion de voisinage. Cela ne retire en rien la propriété essentielle qu'un ouvert est un ensemble qui est voisinage de chacun de ses points. Cela ne retire en rien, non plus, que la notion de voisinage est effectivement très importante : se rappeler, par ex, de la quantité de théorèmes ou définitions (en particulier la continuité !) qui utilise la notion de voisinage.

Mais, comme tu as pu le constater, les propriétés des espaces topologiques (compacité, connexité...) sont définies par la notion d'ouvert ou fermé et non par les voisinages.

Voilà ce que j'en sais pour l'avoir lu comme dit plus haut, je ne sais où. Mais c'est vrai que cela doit être intéressant de connaître les différents cheminements qui ont amené à cette définition et en particulier les échecs avant cette belle réussite.

le dadaiste

Pourrais-je avoir un lien vers vos posts sur sci.maths, monsieur Santini ? (je ne connais pas sci.maths...).

Aimant beaucoup la topologie générale (je suis en licence 3), je commence déjà à réfléchir au DEA que je pourrai avoir à passer plus tard, et n'étant pas particulièrement friand d'EDP, de stats, je voulais m'intéresser à la 'topologie algébrique' qui, je l'espère, garde un peu 'l'esprit' de la topo avec un peu d'algèbre ce qui ne me dérange pas du tout, en particulier si on s'éloigne un peu de la lourdeur (ce n'est que mon avis, je n'y ai pas énormément touché) de l'algèbre générale.

Merci d'avance, cordialement
le dadaiste

Sylvain

ashigabou, tu peux m'en dire plus sur les maths au Japon, s'il te plait ?
Désolé si je pollue le forum, mais le sujet me tient à coeur. Tu peux bien sûr me répondre par mail.
Amicalement.

ashigabou

Pour le Japon, je peux te repondre, mais pas sur les maths au Japon, car les mathematiques ne sont pas mon domaine (je fais une these dans le traitement de la parole)

LLolo

Bonjour,

Juste une remarque sur les axiomes d'une topologie (que je suppose définie par les fermés, ce qui est sans doute historiquement ce qui a été fait) donc stabibilité par intersection quelconque et union finie. Pourquoi finie ? On peut argumenter par des exemples, mais regardez ce qui se passe si on prend "union quelconque" ... Un espace X munie d'un système clos S (sous-ensemble de parties de X stable par intersection et contenant X) stable par union quelconque, c'est un espace préordonné. Réciproquement tout espace préordonné peut être munie d'une telle structure S. Si on ajoute "stable par complémentaire", la relation de préordre devient une relation d'équivalence ! Magnifique à mon goût ...
Quelles sont les axiomes qui nous permettraient de "faire de l'algébre" ?Une réponse est donnée par les "algèbres universelles" avec un axiome d'induction (voir Cohn "Universal algebra"). Cependant, ce n'est pas totalement satisfaisant car on ne "reconstruit pas" ainsi des opérations usuelles type addition ou multiplication ... tout au plus une notion d'idéal.

Si vous avez des idées ...

Cordialement.