Groupe symétrique S3

Xavier1 · May 2006

Bonjour,
 
 
 J'ai un pb de résolution et de compréhension pour les 2 questions suivantes;
 
 1) soit <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img1.png" ALT="$ K$"> le sous-groupe engendré par la transposition <IMG WIDTH="31" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img2.png" ALT="$ (12)$">.
 
 Pour déterminer <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img1.png" ALT="$ K$">,
 <IMG WIDTH="93" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img3.png" ALT="$ (1 \, 2)^1 = (1 \, 2)$">
 <IMG WIDTH="162" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img4.png" ALT="$ (1 \, 2)^2 = (1 \, 2)(1 \, 2) = Id$">
 
 => <IMG WIDTH="109" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img5.png" ALT="$ K = \{ Id, (1 \, 2) \}$"> est-ce correct?
 
 2) soit <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img6.png" ALT="$ H$"> le sous groupe engendré par le cycle <IMG WIDTH="45" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img7.png" ALT="$ (1 \, 2 \, 3)$">. Justifier que <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img6.png" ALT="$ H$"> est un sous groupe distingué de <IMG WIDTH="23" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img8.png" ALT="$ \mathfrak{S}_3$">. En déduire <IMG WIDTH="88" HEIGHT="53" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img9.png" ALT="$ \displaystyle{\bigcup_{x \in \mathfrak{S}_3} x H x^{-1}}$">.
 
 
 J'ai voulu faire pareil que pour <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img1.png" ALT="$ K$">.
 <IMG WIDTH="114" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img10.png" ALT="$ (1 \, 2 \, 3)^1 = (1 \, 2 \, 3)$">
 <IMG WIDTH="159" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img11.png" ALT="$ (1 \, 2 \, 3)^2 = (1 \, 2 \, 3) \, (1 \, 2 \, 3)$"> et là je trouve <IMG WIDTH="45" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img7.png" ALT="$ (1 \, 2 \, 3)$"> ce qui me surprend.
 
 
 Après comment justifier que <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img6.png" ALT="$ H$"> est un sous groupe distingué de <IMG WIDTH="23" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img8.png" ALT="$ \mathfrak{S}_3$"> rapidemment? Ma méthode lourde et longueur, je dresse la table de <IMG WIDTH="23" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img8.png" ALT="$ \mathfrak{S}_3$"> et pour <IMG WIDTH="52" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img12.png" ALT="$ x \in \mathfrak{S}_3$">, je montre que <IMG WIDTH="53" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img13.png" ALT="$ x H x^{-1}$"> appartient à <IMG WIDTH="18" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/29/88880/cv/img6.png" ALT="$ H$">
 
 Merci par avance pour votre aide.
 A+

kilébo · May 2006

1) K = Gr({(12)}) = {Id, (12)}, je confirme.

2) (123)(123)=(12)(23)(23)(31)=(21)(13)=(213)=(132). Donc, tu as commis une erreur.

H = Gr({(123)})={Id, (123), (132)}

Pour montrer qu'il est distingué le plus simple, comme $xyh(xy)^{-1}=x(yhy^{-1})x^{-1}$, c'est de monter que h est stable par conjugaison par les générateurs de $S_3$

Par ex, $(12)(123)(12)= (12)(12)(23)(12)=(32)(21)=(321)=(132)$ ou encore $(13)(123)(13) = (13)(31)(12)(13) = (213) = (132)$

J'ai usé et absué de la relation $(abc)=(ab)(bc)$ qui se démontre facilement. Tu peux faire les calculs directement si tu le souhaites.

kilébo · May 2006

PS : $(123)(123)=(123)$ voudrait dire que $(123)=Id$ car dans un groupe tout élément est régulier car inversible.

De plus, il faut lire "c'est mont$\underline{r}$er que $\underline{H}$ est stable..."

Enfin, évidement j'ai choisi les transpositions comme ensemble générateur du groupe $S_3$

michael · May 2006

Bonjour,

J'ai un pb de résolution et de compréhension pour les 2 questions suivantes;

1) soit $K$ le sous-groupe engendré par la transposition $(12)$.

Pour déterminer $K$,
$(1 \, 2)^1 = (1 \, 2)$
$(1 \, 2)^2 = (1 \, 2)(1 \, 2) = Id$

=> $K = \{ Id, (1 \, 2) \}$ est-ce correct?

2) soit $H$ le sous groupe engendré par le cycle $(1 \, 2 \, 3)$. Justifier que $H$ est un sous groupe distingué de $\mathfrak{S}_3$. En déduire $\displaystyle{\bigcup_{x \in \mathfrak{S}_3} x H x^{-1}}$.

J'ai voulu faire pareil que pour $K$.
$(1 \, 2 \, 3)^1 = (1 \, 2 \, 3)$
$(1 \, 2 \, 3)^2 = (1 \, 2 \, 3) \, (1 \, 2 \, 3)$ et là je trouve $(1 \, 2 \, 3)$ ce qui me surprend.

Après comment justifier que $H$ est un sous groupe distingué de $\mathfrak{S}_3$ rapidemment? Ma méthode lourde et longueur, je dresse la table de $\mathfrak{S}_3$ et pour $x \in \mathfrak{S}_3$, je montre que $x H x^{-1}$ appartient à $H$

Merci par avance pour votre aide.
A+

Xavier1 · May 2006

Bonjour,

Merci pour tes réponses.. Je vais regarder de plus près....

A+

egoroff · May 2006

On peut aussi voir que le sous-groupe engendré par $(123)$ est le noyau de la signature.

kilébo · May 2006

PS2 : Si $\displaystyle{\cup_{x \in S_3} xHx^{-1} \subset H}$, comme $\displaystyle{H \subset \cup_{x \in S_3} xHx^{-1}}$, prendre $x=Id$, on a $\displaystyle{\cup_{x \in S_3} xHx^{-1} = H}$.

Xavier1 · May 2006

bonjour,

Merci encore pour votre cooperation.

Pour kilébo:

Je suis d'accord sur ton calcul. Par contre, je ne vois pas où j'ai fait une erreur au niveau de (123)(123)
1 ->2 -> 3
2-> 3 -> 1
3 -> 1 -> 2
=> (123)(123) = (123) ... Où est l'énormité?

A+

Toto.le.zero · May 2006

=> (123)(123) = (123) ... Où est l'énormité?

si c'était vrai, alors en simplifiant par (123) on aurait (123)=Id.

kilébo · May 2006

Il n'y a aucune énormité. Juste que tu n'as pris attention au fait qu'il faut mettre cela dans l'ordre de tes calculs :

1 -> 2 -> 3

$\textbf{3}$ -> 1 -> 2

2 - > 3 -> 1

Ce qui donne dans l'ordre : (123)(123) = (132)

PS : En clair, ton calcul est juste mais il ne faut pas oublier que (132) signifie que 1 -> 3, 3- > 2 et 2 -> 1.

Xavier1 · May 2006

Re-bonjour,

Evidemment..... Je savais bien que c'était une énormité....Bonjour l'étourderie....

Merci beaucoup

A+

Alain Debreil · May 2006

Bonsoir Xavier

Il y a encore une subtilité concernant la non commutativité, qui n'apparait pas avec les puissances successives d'un élément puisqu'elles commuttent entre elles.
Quand on écrit $(a b c)$ cela représente un cycle $(a\mapsto b ; b\mapsto c ; c\mapsto a)$ avec $\{a, b, c\}$ le support du cycle.
Lorsqu'on écrit la composée $(a b c)(a d)$ c'est comme pour les applications (d'ailleurs c'en est puisque ce sont des bijections de $\{1,\ldots,n\}$ ) la composition se fait de la droite vers la gauche. Ainsi
$(a b c)(a d)$
On commence par $(a \mapsto d)$ puis à gauche $(d\mapsto d)$ (puisque $d\not \in supp(a,b,c)$. Donc on écrit $(a d \ldots$
Pour savoir ce qui vient derrière le $d$ dans le cycle qui commence par $(a d $ on continue, toujours en commençant par la droite :
$(d \mapsto a)$ suivi de $(a \mapsto b$, c'est à dire que globalement $(d\mapsto b)$ et donc notre cycle composé donne $(a d b \ldots$
Et on continue $(b\mapsto b)$ par le cycle $(a d)$ et $(b\mapsto c)$ par le cycle $(a b c)$ c'est à dire globalement $(b \mapsto c)$ soit $(a d b c \ldots)$
et encore $(c \mapsto c)$ suivi de $(c \mapsto a)$ et comme on retombe sur la tête du cycle on a terminé : $(a b c)(a d) =(a d b c)$
Pour se convaincre que la composition n'est pas commutative, on peut évaluer :
$(a d)(a b c) = (a b c d)$

Ce qui est intéressant avec cette notation par cycles, c'est qu'on montre que toute permutation de $\frak{S}_n$ se décompose en cycles de support disjoints.
Qui plus est, comme 2 cycles de supports disjoints commuttent entre eux, la décomposition est unique à l'ordre près des cycles (qui commuttent entre eux puisque de supports disjoints).
On convient alors d'une relation d'ordre $a < b < c < d$ et on convient de commencer chaque cycle par le plus petit élément de son support. Alors on a l'unicité de la représentation de pa permutation.

Juste un dernier exemple pour voir si tu as compris :
$(a b c d)²=(a b c d)(a b c d) = ?$

(Réponse $(a c)(b d)$ quand on a obtenu le 1er cycle $(a c)$ on se rend compte que toutes les lettres n'ont pas été vues, alors on redémarre un nouveau cycle avec la plus petite lettre non utilisée, c'est à dire $(b d)$ etc. L'ordre des cycles $(a c)$ et $(b d)$ n'a pas d'importance puisqu'étant de support disjoints, ils commuttent.

Voilà, après quelques exemples plus compliqués, la composition des permutations de $\frak{S}_n$ n'aura plus de secret pour toi

Alain

Xavier1 · May 2006

Bonjour,

Merci Alain pour ces explications fournies et claires.

A ma question 2, j'ai le corrigé suivant:

"H= { Id, (123), (132) } " ( à ce niveau, je suis d'accord)

" [S3:H] = 2 donc H sous groupe distingué de S3"

Par contre je ne comprends pas la 2ième ligne. Pouvez-vous me l'expliquer svp.

Je sais dire que cardinal de H = 3. cardinal de S3 = 6.. Et après....

Merci à ceux qui me prermettront de comprendre

A+

Alain Debreil · May 2006

Bonsoir Xavier

Puisque $H$ est un sous-groupe d'ordre 3 du groupe $\frak{S}_3$ qui est d'ordre 6, l'indice $[\frak{S}_3 : H] = 2$ c'est à dire que $H$ va admettre 2 classes à gauche $H$ et $aH$ (en choissant $a \not\in H$ ) et pareillement 2 classes à droite $H$ et $Ha$, mais alors $aH = Ha =$ le complémentaire de $H$ dans $\frak{S}_3$ et donc :
$aHa^{-1}=H$ et ceci pour tout $a\not \in H$. Cela est encore vrai pour $a\in H$, ce qui montre que $H$ est distingué dans $\frak{S}_3$

Cette démo montre donc que tout sous-groupe d'indice 2 est distingué dans le groupe.

Pour avoir plus de détail sur les classes et les groupes quotient, tu peux voir
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=214879&t=214879#reply_214963}

Alain

Xavier1 · May 2006

Bonjour,

Merci encore Alain..superbe!!!

J'étais arrivé au calcul de l'indice valant 2 mais après je ne connaissais pas la propriété "tout sous groupe d'indice 2 est distingué dans le groupe"

A+

la_bas_si_j_y_suis · May 2006

Je ne sais pas faire le S gothique en latex alors je me contenterai du S normal. L'étude des sous groupes distingués de $S_n$ est assez importante dans la mesure ou dès que $n\geq3$ le centre de $S_n$ est réduit à l'identité , voilà c'est pas en rapport directe avec le sujet mais c'est toujours interressant à savoir.

michael · May 2006

Salut,

Pour info, pour faire le "S gothique" (ou le "A gothique"), il faut faire :

\frak{S} (ou \frak{A})

Ca donne :

$\frak{S}$ et $\frak{S}$

michaël.

... · May 2006

ya plus fort
soit G un groupe et p le plus petit (au sens de l'ordre usuel) premier divisant l'ordre de G
alors si H est un sous-groupe de G d'indice p, H est distingué.

michael · May 2006

$\frak{A}$

Groupe symétrique S3

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Bonjour!

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