Riemann's Hypothesis

Glop

Voyons, ça ne change rien, $+$ est compatible avec la congruence modulo $n$...
Borde a raison, la somme vaut $\binom{n}{m+1}$ et il est classique que pour $n$ premier (et $0 \leq m \leq n-2$), c'est un multiple de $n$ (mais pas de $n^2$).

Glop

delille0

Je suis d'accord évidemment que + est compatible avec la congruence mais ici ce n'est pas exactement ça.
faites l'essai avec 13 et 8.
Le calcul "borde" donne 715=55x13
Le calcul "delille" donne 1+9+6+9+1=26=2*13
!!!!!

borde

J'avoue ne plus très bien suivre le calcul, mais, si je comprends bien, $26$ n'est pas plus un multiple de $13^2$ que ne l'était $715$, non ?...

Mais peut-être quelque chose m'a-t-il échappé !

Borde.

delille0

Cf mon post précédent. La somme des modulo n est 26=2*13 : le test fonctionne, la somme est divisible par n.
La version antérieure (erronée) était de faire la somme et ensuite regarder modulo n^2, ce qui n'est pas pareil et ne fonctionne pas (on trouve 715).

Glop

Vous avez corrigé $mod n^2$ en $mod n$ sur votre document. Donc on calcule bien modulo $13$ et les deux calculs donnent la même chose: $0$ modulo $13$.

delille0

non ! la somme dans la première version est 715, différent de 0 mod 13^2.
Par contre la somme des modulo 13 est 26=0 mod 13.

Glop

Si je comprends bien, votre énoncé initial (faux donc) était : la somme des restes modulo $n$ est congrue à $0$ modulo $n^2$. Dans ce cas évidemment, ce n'est pas la même chose. Mais, ne le prenez pas mal, c'était un énoncé qui dès le départ avait un air un peu bancal.

Cordialement,

Glop

delille0

Je suis fautif : en voulant simplifier, j'ai transformé l'expression en une autre qui n'est pas équivalente.

Bon, maintenant que nous sommes d'accord quid de l'explication de ce phénomène ?

Glop

Comme je vous l'ai dit, $\binom{p}{k} \equiv 0\ mod p$ pour $1 \leq k \leq p-1$, $p$ premier. Simplement parce que $p$ apparaît au numérateur mais pas au dénominateur.

borde

...Plus généralement, le corollaire 2.13 page 21 de mon livre donne la démonstration du fait suivant : si $1 \geqslant k < n$ sont deux entiers, alors $$\frac {n}{\gcd(n,k)} \mid \binom {n}{k}.$$

Borde.

borde

Lire $1 \leqslant k < n$ au début, au lieu de $1 \geqslant k < n$...

Borde.

delille0

En fait, j'ai l'impression que chaque congruence pour m donné teste la divisbilité de n par un nombre <n.
Par exemple, pour m=n-2, la congruence teste la divisibilité par 2.
C'est donc sans doute assez trivial...

Eric Chopin

Bonsoir,

J'ai loupé le debut du fil, j'etais en vacances a ce moment la.
Pour Fadalbalastan: le th de Voronin (et Karatsuba!) dit meme que si
on prend un nombre fini de fonction analytiques qui ne s'annulent
pas dans un disque de rayon plus petit que 1/4, alors on peut trouver autant de fonctions L de dirichlets ayant des caracteres tous differents
qui approximent autant qu'on veut ces fonctions dans un disque translaté
du précédent. Une conséquence est que toute combinaison lineaire
de fonctions L de dirichlet a coefficient non nuls et distinctes
ne verifie jamais RH car s'annule infiniment souvent dans toute
bande verticale incluse dans la bande critique.
Or on sait trouver de telles combinaisons qui verifient
une equation fonctionnelle tres voisine de celle de zeta (par ex fonction
de Davenport et Heilbron qui est combinaison de 2 fonctions L
supportées par des caracteres modulo 5), ce qui prouve
deja le caractere hautement non-lineaire de RH (comme le souligne
Selberg, le point essentiel est sans doute l'aspect multiplicatif des
coefficients des series de Dirichlet). Jusqu'a présent la seule
theorie qui va dans ce sens est celle des operateurs de Hecke, bien
que celle ci ne couvre pas l'ensemble des series L (au mieux
a celles à coeffs reels).

Voila,
desolé d'avoir repondu vite, mais le sommeil m'appelle...
A+

eric

delille0

Réponse au dernier post :
Il est aisé de construire des séries de Dirichlet satisfaisant une équation fonctionnelle et ne satisfaisant pas RH.
De même, (mais c'est plus compliqué), on peut construire des produits eulériens qui s'annulent sur l'axe réel en des abscisses différentes de 1/2.
Par contre, on ne connait pas d'exemple série de Dirichlet avec équation fonctionnelle, produit eulérien dont on peut prouver RH faux.