Riemann's Hypothesis

delille0

Bonjour,

Pour ceux que l'hypothèse de Riemann intrigue, je propose un site entièrement consacré à ce fameux problème.

<http://perso.wanadoo.fr/hh-mouvement.com/&gt;

Suggestions et avis bienvenus.

HD

Sylvain

Merci à vous, Henri. J'y vais de ce pas.

Roro

Excellent merci beaucoup

Je vais trouver du temps pour lire tout ça ; en attendant j'ai une petite question autour de cette hypothèse ; on débattait avec deux amis de l'utilité de cette preuve, l'un d'entre nous affirmant qu'elle résidait seulement dans les nouvelles méthodes qu'il faudrait mettre ne oeuvre pour y arriver (un peu comme Fermat-Wiles), les deux autres (dont moi) étant persuadés que de nombreux résultats intéressant en découleraient, certains mathématiciens travaillant en supposant que l'hypothèse est vraie...

Qu'en est-il ?

borde

Des applications de HR peuvent être consultées dans l'excellent ouvrage de Titchmarsh : <I>The theory of the Riemann-zeta function</I>, Oxford (1986), Edition annotée par Heath-Brown. On n'a pas beaucoup avancé depuis les années trente.
<BR>
<BR>Par ailleurs, on trouve sur le net des articles s'y réferrant, comme par exemple : <a href=" http://www.unizar.es/acz/05Publicaciones/Monografias/MonografiasPublicadas/Monografia26/001Calderon.pdf"&gt; http://www.unizar.es/acz/05Publicaciones/Monografias/MonografiasPublicadas/Monografia26/001Calderon.pdf</a&gt;
<BR>
<BR>Opinion personnelle : il est vrai qu'une preuve de HR (et ses dérivées : GRH, ERH, etc) donnerait de grands bouleversements dans la science moderne, MAIS :
<BR>
<BR>(i) Il y a des conjectures moins fortes qui n'ont toujours pas été démontrées : par exemple, <I>l'hypothèse de Lindelöf</I> donnerait de nouveaux horizons en théorie des nombres, et ailleurs, peut-être... Actuellement, on en est encore loin !... et RH implique cette conjecture !
<BR>
<BR>(ii) André Weil (et d'autres...) n'a jamais réussi, malgré diverses tentatives, à démontrer RH. On se demande donc qui pourra le faire ? Est-ce vraiment un problème à portée humaine ?
<BR>
<BR>Borde.<BR>

[Utilisateur supprimé]

Connes est bien parti, non?
Dans son dernier preprint sur Arxiv, il donne un programme dans l'esprit de Weil pour l'hypothese de Riemann sur les courbes, mais dans un cadre de geormetrie non-commutative. Il lui "reste" la derniere partie de son programme a montrer (evidemment la plus difficile dans le cadre des courbes!!!).

Joaopa

Fadalbalastan0

Dans le premier article sur le panorama general de l'HR, le theoreme de Voronin page 15/39 m'intrigue (entre autre). Peut on me l'expliquer?

merci d'avance.

borde

Je n'ai pas connaissance actuellement de gens, quels qu'ils soient, qui seraient "bien partis" pour démontrer RH. Mais bon, c'est possible !!

Bob ou Eric C. doivent peut-être en savoir plus que moi à ce sujet.

Borde.

bob

Bonsoir Borde et tous,

Je suis d'accord avec Borde quand il dit:
"Je n'ai pas connaissance actuellement de gens, quels qu'ils soient, qui seraient "bien partis" pour démontrer RH. Mais bon, c'est possible !!"

Je citerais Jean-François BURNOL, qui cherche HR, et qui a une chance à mon avis de contribuer à démontrer HR, à moyen terme.

Bob

borde

Merci de ton intervention, ô combien efficace, Bob. Par expérience, j'ai tendance à me méfier des papiers ArXiV.

Borde.

lili M

Et moi je cite Sylvain!!

Sylvain

Ah merci Lili...

Je vais d'ailleurs débusquer de ce pas le post sur la grammaire, que je te livre enfin la réponse de mon père. A moins que tu ne préfères que je te réponde par mail ? C'est comme tu veux.

oblooh0

Bonjour,

J'ai deux questions pour les spécialistes de cette fascinante fonction :

Est-il possible de tester RH en cherchant des contre-exemples avec de gros calculateurs ?

Et existe t-il des représentations 3D de la fonction dzeta (par ex. de son module), ou des choses de ce genre, même parcellaires et/ou imparfaites ?

Merci d'avance

lili M

Hello Sylvain,

Merci de penser à la grammaire pour la réponse c'est comme ça t'arrange. Est-ce indiscrêt de te demander ce que fait ton père pour être calé en grammaire?

lili.

delille0

Bonsoir,
Heureux d'avoir susciter ce débat.

Quelques réponses :

1/ Universalité de Voronin : en un certain sens zêta approche n'importe quelle fonction analytique. Lire l'article c/ du site.

2/ Les implications de RH sont bien connues (bien que la liste ne soit pas évidemment exhaustive). Cependant, il faudrait démontrer des hypothèses plus fortes (GRH,...) pour obtenir des conséquences vraiment intéressantes. Il n'est pas exclu que si une solution existe, alors elle devrait s'appliquer à une large classe de L-fonctions et pas seulement zêta.

3/ Je connais JF Burnol pour avoir correspondu avec lui à propos de mon article 10/ qui reprend certains de ses travaux ainsi que ceux de Balazard-Saias. JF Burnol est un analyste. La question qui se pose : RH est-elle un pb analytique ou arithmétique ? La communauté penche pour la seconde hypothèse.

4/ Je ne connais effectivement personne qui ait un programme sérieux d'attaque de RH. A ce jour, RH a été traduit en une multitudes de "critères" qui s'avèrent tous impénétrables. Je partage l'avis que si RH est vraie et une preuve est à portée humaine, alors elle devrait mettre en oeuvre des concepts inconnus.

HD
Lire aussi l'article de B. Conrey e/ qui explore un critère analytique et montre comment on peut tourner en rond avec l'analyse.

delille0

J'ai horreur des fautes: lire "suscité"

delille0

réponse à oblooh :

L'hypothèse de Riemann a été testé numériquement jusqu'à 10^20 sans contre-exemple bien entendu. Un ingénieur d'IBM S. Widniewski a coordonné récemment un programme de calcul réparti sur le net "ZETAGRID" et a accumulé des milliards de zéros. Son but est d'étudier la statistique de répartition des zéros afin de valider ou faire émerger des approches, comme le lien supposé avec les matrices GUE.
Il se peut qu'un contre-exemple existe à des valeurs à jamais hors de portée. Ce serait frustrant...

Sylvain

Citation: "A ce jour, RH a été traduit en une multitudes de "critères" qui s'avèrent tous impénétrables. Je partage l'avis que si RH est vraie et une preuve est à portée humaine, alors elle devrait mettre en oeuvre des concepts inconnus."

J'ai envie de préciser: inconnus des purs mathématiciens. N'en déduisez pas que j'ai la preuve irréfutable de RH, ce serait faux. Néanmoins, si on devait montrer qu'elle fausse, mon sens esthétique risquerait de s'écrouler définitivement.

Il est également possible que les tentatives de preuve de RH, jusqu'alors vaines, le restent: la situation n'est pas sans rappeler le postulat des parallèles d'Euclide. On attend les nouveaux Gauss, Bolyai, Lobatchevski et Riemann pour fonder une analyse, voire une arithmétique, cohérentes avec la négation de RH comme axiome.

oblooh0

Merci Henri,

Excuse ma naîveté mais : pourquoi frustrant ? Personnellement je trouve surtout frustrant que tant de cerveaux se soient essayé à démontrer RH sans succès ! (Riemann y compris !).

Ce serait... la réalité et il faut l'aimer comme elle est non ? Ceci dit avec des milliards de zéros ça doit être difficile de croire que RH est fausse, j'imagine ?

delille0

L'Harmonie (qui est "la poésie de l'ordre") serait brisée par la réfutation de RH.
Depuis Gödel, on sait qu'il existe des énoncé indémontrables dans un formalisme donné. Est-ce le cas de RH ? Peu de mathématiciens le croient.

delille0

J'ajoute (mais je ne suis pas un spécialiste de Gödel): RH est réfutable dans peano (il suffit de trouver un contre-exemple). Donc RH est nécessairement vraie ou fausse dans Peano, ZFC.

delille0

Pour Oblooh que j'ai oublié:
Des milliards ne sont pas une preuve...
Pendant longtemps, on croyait que pi(x) et Li(x) ne se croisaient pas.
Littlewood a démontré le contraire. La valeur où les 2 fonctions se croisent (<10^40) est énorme et poutant elle existe. C'est l'une des constantes (j'ai oublié son nom) les plus grandes rencontrées en maths.

fb0

Pour Oblooh qui demande une visualisation 3D de la fonction zêta : je redonne le lien suivant
<BR>
<BR><a href=" http://www.math.polytechnique.fr/xups/vol02.html"&gt; http://www.math.polytechnique.fr/xups/vol02.html</a&gt;
<BR>
<BR>Sylvain, ta suggestion sur l'indécidabilité éventuelle de HR (parlons français!) est intéressante : quel serait l'analogue des géométries non euclidiennes dans le cas où HR était faux ?... Néanmoins, on peut dire que HR est un problème "moins concret" que celui posé par le postulat d'Euclide. D'ailleurs, y a-t-il d'autres énoncés que l'on pensait vrais et qui se révèlent indécidables? Il me semble que l'axiome du choix, l'hypothèse du continu le sont (je ne suis pas certain). A-t-on pu développer des théories intéressantes où ces résultats sont faux ?...<BR>

oblooh0

Merci fb !
(Plutôt jolie la zêta !)

delille0

Alain Connes et RH:

A. Connes a montré comment construire une opérateur dont les valeurs propres sont les zéros de zêta sur la droite critique. Il me semble qu'il a généralisé sa méthode à d'autres L-fonctions.
Le problème c'est que ça ne prouve pas que tous les zéros sont sur la droite critique !

Sylvain

Je ne suis pas un spécialiste (c'est le moins qu'on puisse dire) des travaux d'A.Connes, mais le peu que j'ai lu de son ouvrage "Non Commutative Geometry" à ma BU m'a néanmoins convaincu de la validité de son approche.

A un moment il évoque (si j'ai bien compris, ce dont je doute) un opérateur spectral $\bbf{S}$ (je n'arrive pas à l'écrire en LaTeX, mais la typographie est analogue à celle employée pour les ensembles) qui relie les entiers naturels et les nombres premiers. Il démontre d'ailleurs cette correspondance.

On remarquera que cette approche tire son origine, pour une grande part, de la {\bf physique}, ce qui tendrait à corroborer ce que j'ai dit plus haut.
Tout ça me parait donc on ne peut plus logique. Mais encore une fois, je ne suis pas assez calé (ni en maths, ni en physique, ni en quoi que ce soit d'autre) pour apporter un jugement définitif sur la question.

Sylvain

delille0

Au sujet de l'approche d'A. Connes, il y a une bonne vulgarisation dans un article de La Recherche (J. Gabay) au lien :
<http://www.larecherche.fr/special/math346/lac.html&gt;

Comme je le dis plus haut, c'est impressionnant mais est-ce la voie vers la solution ???

...

pour etre bien sur
quand vous dites que l'on a verifie jusqu'a 10^20
ca veut dire que dans le disque de rayon 10^20 et de centre 0
on sait (savoir veut dire preuve) que les zeros sont uniquement
les entiers negatifs pairs (je crois) et des nombre de partie reeles 1/2 (qui bien sur quand on en a un on a son conjugue)
c'est ca que ca veut dire ?

delille0

Les zéros triviaux sont -2,4,..,-2k.

Les zéros non triviaux sont selon RH sur la droite critique s=1/2+it et de toute façon sont dans bande critique de partie réelle entre 0 et 1 qu'il suffit d'explorer.

Sylvain

Bien...Henri, sachez qu'il ne me reste plus que deux à trois pages à lire de l'excellent l'article de J.Brian Conrey.

Je me permets de le citer:

&quotThe basic idea this approach is that if there is an $L(s,\chi_{d})$ with a zero near $1$, then $\chi_{d}(p)=-1$ for many small primes. In other words, $\chi_{d}$ mimics the Möbius function $\mu(n)$ for small $n$.
This is consistent with the fact that $$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^{s}}}$$

has a zero at $s=1$ (since $\zeta(s)$ has a pole at $s=1$)."

Et je traduis du mieux que je peux:

&quotL'idée de base derrière cette approche est que s'il existe une fonction $L(s,\chi_{d})$ ayant un zéro au voisinage de $1$, alors $\chi_{d}(p)=-1$ pour de nombreux nombres premiers petits. Autrement dit, $\chi_{d}$ imite la fonction de Möbius $\mu(n)$ pour de petits $n$.
Ceci est cohérent avec le fait que $$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^{s}}}$$

ait un zéro en $s=1$ (puisque $\zeta(s)$ a un pôle en $s=1$)."

Et voici maintenant la question que cela m'inspire:

Peut-on raisonnablement considérer la fonction de Möbius comme la limite quand $d$ tend vers $\infty$ de $\chi_{d}$ ?

Merci de me donner votre avis.

Sylvain

borde

Je me permets d'intervenir ici, alors même que je n'ai point lu l'article de Conrey...Je pense cependant que la formulation que tu proposes ne convient pas.

Si les notations sont conventionnelles, $\chi_d$ est un caractère de Dirichlet {\it réel} (car si $\chi_d$ est complexe, alors on peut montrer que $L(1,\chi) \not = 0$) modulo $d$, et n'a rien a voir avec la fonction de Möbius (par exemple, $\chi_d$ est complètement multiplicative de période $d$, alors que $\mu$ est simplement multiplicative et non périodique, bien sûr).

En revanche, ces deux fonctions ont néanmoins un point commun : elles prennent toutes les deux leurs valeurs dans $\{ -1,0,1 \}$, et c'est seulement là-dessus que l'auteur tente une "comparaison". D'autre part, on sait depuis le TNP que : $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac {\mu(n)}{n} = 0,$$ ceci n'est pas un scoop. D'un autre côté, d'après l'inégalité de Polya-Vinogradov, on a si $\chi \not = \chi_0$ et est primitif, et pour tous entiers $0 < M \leqslant N$ : $$\left | \sum_{M < n \leqslant N} \chi(n) \right | < \sqrt {d} \ln d,$$ ce qui implique, par sommation partielle, que $$\left | L(1 \, ; \, chi_d) \right | \leqslant \frac {1}{2} \ln d + \ln \ln d + 1.$$ Ceci est vrai en toute circonstance. Maintenant, s'il existe un zéro exceptionnel ("zéro de Siegel"), alors on sait qu'il n'est pas trop loin de $1$. Les connaissances théoriques s'arrêtent à peu près là, des spécialistes essayant d'affiner les résultats, d'autres cherchant une vérification algorithmique de cet étrange phénomène.

Borde.

borde

Je me permets d'intervenir ici, alors même que je n'ai point lu l'article de Conrey...Je pense cependant que la formulation que tu proposes ne convient pas.\\
\\
Si les notations sont conventionnelles, $\chi_d$ est un caractère de Dirichlet {\it réel} (car si $\chi_d$ est complexe, alors on peut montrer que $L(1,\chi) \not = 0$) modulo $d$, et n'a rien a voir avec la fonction de Möbius (par exemple, $\chi_d$ est complètement multiplicative de période $d$, alors que $\mu$ est simplement multiplicative et non périodique, bien sûr).

En revanche, ces deux fonctions ont néanmoins un point commun : elles prennent toutes les deux leurs valeurs dans $\{ -1,0,1 \}$, et c'est seulement là-dessus que l'auteur tente une "comparaison". D'autre part, on sait depuis le TNP que : $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac {\mu(n)}{n} = 0,$$ ceci n'est pas un scoop. D'un autre côté, d'après l'inégalité de Polya-Vinogradov, on a si $\chi \not = \chi_0$ et est primitif, et pour tous entiers $0 < M \leqslant N$ : $$\left | \sum_{M < n \leqslant N} \chi(n) \right | < \sqrt {d} \ln d,$$ ce qui implique, par sommation partielle, que $$\left | L(1 \, ; \, \chi_d) \right | \leqslant \frac {1}{2} \ln d + \ln \ln d + 1.$$ Ceci est vrai en toute circonstance. Maintenant, s'il existe un zéro exceptionnel ("zéro de Siegel"), alors on sait qu'il n'est pas trop loin de $1$. Les connaissances théoriques s'arrêtent à peu près là, des spécialistes essayant d'affiner les résultats, d'autres cherchant une vérification algorithmique de cet étrange phénomène.

Borde (doublon à virer. Merci).

delille0

Pour compléter l'intervention de Borde :

Les caractères réels de Dirichlet prennent des valeurs pour les indices premiers qui semblent aléatoires comme la fonction de Möbius.
D'ailleurs si l'on savait montrer que la somme des caractères sur les premiers <x évolue en x^(0,5+epsilon ) on démontre RH pour la L-fonction de Dirichlet associée au caractère.

Du point ce point de vue statisque de type "marche au hasard", il y a bien une analogie entre la fonction de Möbius et les caractères réels.

La notion de limite d'un caractère quand le module tend vers l'infini n'a pas de sens (la limite n'existe pas).

delille0

Juste un commentaire inspité par les messages, certains assez naïfs, d'autres plus avertis:
Le prestige du problème RH attire certains qui s'estiment capables de se mesurer à lui. J'ai succombé à cette tentation un temps mais ça m'a passé...
Après plusieurs années, l'issue la plus probable c'est d'arriver à percevoir l'extrème difficulté du problème, sans plus, et c'est déjà beaucoup.

Sylvain

Bon, alors je vais essayer de préciser quelque peu ma pensée: je ne prétends pas démontrer HR tout de suite (ni peut-être plus tard), je m'intéresse simplement au problème, ce qui me permet de parfaire ma culture mathématique bien lacunaire.

Quand je propose que la fonction de Möbius soit &quotlimite " d'une suite de caractères de Dirichlet, je {\bf n'affirme pas} que la fonction de Möbius est un caractère de Dirichlet !
La situation est analogue au fait que si je considère la suite de fonctions $f_n:x\mapsto n$ si $x\in [-1/n,1/n]$ et $f_n:x\mapsto 0$ si $|x|>1/n$, alors la &quotlimite" est la {\bf distribution} de Dirac, et non une {\bf fonction}.

Autrement dit, si munie d'une distance convenable, la suite des caractères $\chi_d$ forme une suite de Cauchy, celle-ci ne converge pas vers un caractère de Dirichlet: on n'a tout simplement pas affaire à un espace complet.

J'espère ne pas dire d'absurdités, ni me montrer trop sec, mais si je manque parfois (souvent !:-)) de rigueur et de précision, j'essaye d'ouvrir des perspectives.

Amicalement,

Sylvain

Sylvain

skyskoficateur

ca va etre amusant si qq resoud cette celebre hypothe en moins d'une page.
n'est ce pas?

skyskoficateur

celebre hypothe =celebre hypothese
desole

Domi

Cela a déjà été fait de nombreuses fois , je n'ai pas trouvé que c'était particulièrement amusant . Restons humbles les outils nécessaires à la démonstration de cette hypothèse restent à inventer .

Domi

Utilisateur anonyme

<BR>En tout cas Connes et deux collaboratrices travaillent activement sur RH ces temps-ci. En particulier, il y a des avancées géométriques récentes (motifs noncommutatifs) par rapport à la reformulation de RH en terme de formule de traces, pour essayer d'adapter la preuve de Weil, ce qu'ils arrivent à faire en partie. (Ils appellent leur approche le "programme Téhéran" car il l'on d'abord présenté à une conférence là-bas en 2005).
<BR>
<BR>Bien sûr je n'y comprends rien, je paraphrase juste les sections 26 et suivantes de <a href=" http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0601/0601054.pdf"&gt; http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0601/0601054.pdf</a><BR><BR><BR&gt;

Jean-Paul-George

Qu'est-ce que la longueur d'une démo de ce genre ? On peut toujours considérer un tas d'outils comme élémentaires même si ils ne sont connus que d'une poignée de mathématiciens. Ensuite on déduit le gros théorème de tout un fatras de résultats comme une sorte de corollaire.

Imaginons une démonstration qui utilise la densité des polynomes dans les fonctions continues à supports compacts et le fait que $S^n$ est simplement connexe pour n>2. Selon qu'on inclu ou pas les démonstrations de ces 2 résultats dans la grande démo on obtient des longueurs très variables.

Donc bon c'est très subjectif tout ca....

t-mouss

delille0

A. Connes a montré que RH est vraie ssi la formule explicite s'interprète comme une formule de trace. C'est démontré pour les corps de fonctions mais pas pour les corps de nombres.

Utilisateur anonyme

Oui Henri, et apparemment il est maintenant en train de construire un cadre géométrique pour cette autre approche du cas des corps de fonctions (en reformulant les travaux de Weil) pour ensuite essayer d'adapter cette géométrie au cas des corps de nombres.

Sylvain

Henri Delille a dit: "A. Connes a montré que RH est vraie ssi la formule explicite s'interprète comme une formule de trace. C'est démontré pour les corps de fonctions mais pas pour les corps de nombres."

Cette démonstration repose-t'elle notamment, comme je suppose, sur le fait que la composition de fonctions n'est pas commutative ? Est-ce que tout corps commutatif peut être vu comme un sous corps d'un certain corps non commutatif ?

delille0

L'approche d'Alain Connes est très difficile d'accès et je ne pense pas me tromper en affirmant que seuls quelques spécialistes sont en mesure de la suivre.
Il est vrai qu'elle repose sur des idées anciennes et récurrentes (Hilbert, Polya, Selberg, Montgomery, Dyson,..).
D'après ce que j'ai lu de l'article de Connes et Marcoli, le cas des corps de fonctions est finalement "simple" (avec beaucoup de guillements) car la L-fonction zêta associée est un polynôme.
Dans le cas des corps de nombres, les L-fonctions sont "transcendantes".
On comprend intuitivement que cela devient beaucoup plus difficile.

delille0

Pour les amateurs d'énigmes, je propose la lecture de mon article 4 sur le site
<http://perso.orange.fr/hh-mouvement.com/&gt;
Vous trouverez des considérations très spéculatives sur les nombres premiers et RH qui mènent à des résultats étonants comme une paire de polynômes qui prennent simultanément des valeurs premières jusqu'à des valeurs gigantesques 10^1024 !

ryo

Juste pour faire remonter ce post interessant une petite question que je me posais : a priori l'hypothese de Riemann est vraie ou fausse mais est-ce que c'est completement debile de penser qu'elle est indecidable?
Et dans ce cas ca ne voudrais pas dire qu'elle est vraie mais qu'on ne pourra jamais la prouver (enfin l'hypothese de Riemann en axiome je trouverais pas bizarre mais bon). En effet si elle etait fausse alors il existerait un contre-exemple donc elle ne serait pas indecidable?

Quand a un eventuel candidat a la demo on n'attendait pas tellement Wiles sur Fermat non?

borde

Pour Fermat, je crois que si : Wiles faisait partie, depuis un moment, du "staff" susceptible d'aboutir. En fait, Grand Fermat est véritablement un travail d'équipe, et quand je dis "équipe", il faut le comprendre au sens large, c'est-à-dire équipe réunissant diverses personnalités...dans le temps : c'est une équipe dont les participants remontent à Ernst Kummer, Sophie Germain, Jean-Pierre Serre, Yves Hellegouarch, Gerd Faltings, Andrew Wiles. Une "équipe" agée de plus d'un siècle !

Borde.

Sylvain

Henri, j'ai lu (plus exactement survolé) une partie de la page 4 de votre article 4 (on notera l'autoréférentialité numérique...), et je suis plus qu'agréablement surpris de la résonance entre les idées que vous développez et les miennes, qui sont encore trop "compactes" pour l'instant. Je vous envoie un mail illico presto pour en tenter un début de développement.
Amicalement,

delille0

Bonjour Sylvain,
Je suis curieux de connaître ces idées.
Avez-vous lu les pages 8,9,10 ?
Etonnant non ? Les personnes qui ont effectué les calculs sont des "chasseurs" de grands nombres premiers. Ils ont été stupéfaits par les propriétés des 2 polynomes.

delille0

A la page 5 de mon article 8 - site <http://perso.orange.fr/hh-mouvement.com/&gt; - je donne une congruence qui semble n'être vraie que pour les premiers. Quelqu'un aurait une idée sur une preuve et une réciproque éventuelle ?

borde

S'agit-il de $n$ premir $\Longrightarrow$ $\forall \, m \in \{1,...,n-2 \}$, on a $$\sum_{j=m}^{n-1} \binom {j}{m} \equiv 0 \pmod {n^2} \, ?$$ Cela ne me semble pas être correct : tout d'abord, on remarque que $$\sum_{j=m}^{n-1} \binom {j}{m} = \binom {n}{m+1}.$$ Ensuite, on vérifie que cela ne fonctionne pas par exemple avec $n=13$ et $m=8$.

Mais peut-être quelque chose m'a-t-il échappé ?

Borde.

delille0

Oui, c'est cette congruence. Par contre, je l'avais stupidement modifiée avant de faire le post (en croyant simplifier).
J'ai corrigé sur le site.
La différence (subtile) est que l'on calcule chaque terme modulo n, on fait la somme et ensuite regarde la somme modulo n.
J'ai vérifié pour 13, ça fonctionne.