Applications théorèmes de Brouwer et Schauder

Tsss

Bonjour, pour mon TIPE, qui traite de ces deux théorèmes, je recherche une ou deux applications de ces deux derniers.

Je pense déjà parler du théorème de Perron-Frobenius (toute matrice carrée à coefficients tous positifs possède une valeur propre positive).
Mon prof de maths a évoqué la démonstration de l'existence des solutions d'une équadiff non linéaire dans le cas seulement continue (plus faible que Cauchy-Lipschitz) en reprenant la même méthode que pour démonter ce dernier.

Donc si vous avez d'autres résultats intéressants à ma portée (Spé), je suis preneur.

Merci

alekk

peux être que tu peux aller voir du coté du beau théorème de Borsuk-Ulam ? si je me rappelle bien ca peut se démontrer un peu comme Brouwer, mais je ne suis plus sûr ..

Cauchy

Les theoreme de Brower et Shauder s applique sur les EDP non lineaires ex:$-\Delta u=f(u)$

alekk

Tu pourrais aussi mentionner le théorème de Tychonoff qui ressemble beaucoup aux 2 autres et qui s'applique dans un grand nombre de situations ...

(<http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed_point_theorems_in_infinite-dimensional_spaces>)

Tsss

Merci pour vos réponses.
J'ai cherché Borsuk-Ulam. Le résultat est plutôt joli en effet, mais il implique seulement Brouwer, je ne crois pas qu'il y ait équivalence. Et les preuves que j'ai vu sont toutes utilisant de la topologie algébrique ( que je me suis "forcé" d'éviter puisque m'amenant trop loin ).
Alors que pour Brouwer, je me suis contenté de l'approche combinatoire avec le lemme de Sperner et le théorème des trois polonais.

Je vais regarder Tychonoff plus précisément et également l'équadiff avec le laplacien.

alekk

théorème des trois polonais ? késako ?

Tsss

Je ne sais pas si c'est l'appellation officielle mais mon prof l'appelle comme ça, c'est le théorème KKM (initiale des trois polonais à la base du théorème).

En dimension 2, c'est, pour un triangle ABC plein donné recouvert par trois fermés F1,F2,F3 avec A dans F1, B dans F2, C dans F3. Et, le côté AB inclus dans la réunion de F1 et F2, AC dans celle de F1 et F3, BC dans celle de F2 et F3 alors l'intersection des trois fermés est non vide.

Ca se généralise en dimension n pour les simplexes.
En utilisant ensuite les coordonnées barycentriques normalisées, on montre Brouwer dans un triangle puis on l'étend à un convexe compact.

corentin

Puisque tu ne l'as pas mentionné, je rappelle qu'il est équivalent à la non rétraction de la boule unité (mais je pense que tu le savais).
Les applications de Brouwer pour obtenir des solutions aux équations aux dérivées partielles sont par exemple expliquées ici :
<http://www.ann.jussieu.fr/~ledret/M2Elliptique/chapitre1.pdf&gt;
(le théorème de Tichonoff y est brièvement abordé d'ailleurs).
Mais ça doit être trop difficile à comprendre en profondeur en spé (on utilise des espaces de fonctions plutôt élaborés).

alekk

Tsss, sache comme même que Brouwer marche dans des espaces non convexes, comme tu semblais le sous entendre. Homéomorphe à un convexe compact fonctionne tout aussi bien, comme tu le sais surement.

Tsss

Merci corentin, j'ai parcouru (rapidement ) le poly et on y trouve pas mal de résultats intéressants notamment le problème auquel Cauchy faisait référence plus haut. Mais c'est vrai qu'il y a bcp d'espaces que je ne connais pas (connaissant à peine celui des fonctions holomorphes, les autres semblant s'y rattacher, je crois qu'il me faudra trop de temps pour assimiler en gros ces notions). Je regarderai plus en détail le poly dans la semaine.

Pour alekk, sinon, j'avais entendu parler de cette propriété d'homéomorphisme entre les convexes compact d'intérieur non vide, j'hésitais à la placer en annexe pour donner une alternative au résultat employé.
En fait, j'ai utilisé le théorème de projection sur un convexe complet dans un espace préhilbertien en enfermant le compact convexe dans un triangle (ou simplexe) puis en projetant sur ce compact. Cette méthode a juste le mérite de ne pas utiliser la notion de jauge mais je crois que je vais quand même le mettre en annexe .

Vincent

Le problème Ulm 1999 propose une application du point fixe de Schauder à la resolution d'équation différentielle.

Vincent