à propos de l'intuitionnisme

Bonjour,
pour un intuitionniste, l'(élégant) argument selon lequel, puisque (rac(2)^rac(2))^rac(2)=2, il existe deux irrationnels a et b tels que a^b est rationnel (soit rac(2) et rac(2), soit rac(2)^rac(2) et rac(2)), est nul et non avenu. Pour lui, cette existence n'est prouvée que parce qu'on sait montrer (péniblement) que rac(2)^rac(2) est irrationnel. Il refuse l'argument sous prétexte qu'il fait appel au principe du tiers-exclus. En effet, l'argument détaillé est :

P => R
¬P => R
P v ¬P (tautologie)
(P => R) => ((Q => R) => (P v Q => R)) (tautologie)

Donc R (par triple application du modus ponens).

Pourquoi se refuse-t-il (entre autre) le tiers-exclus ? Parce que pour lui, si j'ai bien compris, démontrer P v Q, c'est exactement démontrer P ou démontrer Q. C'est quand même très étrange. Il est clair que démontrer P ou démontrer ¬P, c'est démontrer P v ¬P, mais pourquoi la réciproque ? Pourquoi exiger que le seul moyen de démontrer P v ¬P soit de démontrer P ou démontrer ¬P ?

Un expérimentateur a devant lui une boîte vide ouverte, une boule blanche, une boule noire et un intuitionniste. Il lui demande de fermer les yeux et met une des deux boules dans la boîte (et le lui dit), et met l'autre dans sa poche. La boîte est maintenant fermée et opaque. Il lui demande de rouvrir les yeux et lui soumet la proposion P suivante : "la boule dans la boîte est blanche ou la boule dans la boîte est noire", assortie de deux questions :
- la proposition P est-elle vraie ?
- si oui, est-il capable de le prouver ? Et de quelle façon ? uniquement en ouvrant la boîte ?

A votre avis, quelles seront les réponses de l'intuitionniste ?

Réponses

  • tjs le pb de l'intuitionisme
    en fait le truc c'est que quand on refuse l'absurde (contraposee etc)
    on peut construire les trucs
    la ton arg pour ton a et b ne te permet pas de les expliciter
    c'est pas une logique qui est defendue comme bonne (nier l'absurde est qqc que la raison doit interdire) mais le fait de pouvoir construire des trucs pas juste prouver leur existence (j'espere qu'un intuitionniste n'aura jamais l'audace d'accepter l'axiome du choix)
  • Sa réponse serait "je ne sais pas".
    La même réponse que la sage femme à qui tu demanderais "c'est un garçon ou une fille" avant l'accouchement.

    Par ailleurs, en logique classique, il y a des propositions explicites qui sont indécidables. Pour une telle proposition P, P n'est pas prouvable et non P n'est pas prouvable, mais P ou non P l'est.
  • Je me permets de citer David Hilbert (je crois que c'est lui): "Le tiers exclu est aussi indispensable au mathématicien que le télescope à l'astronome."
    ça veut tout dire.
  • salut Sylvain,
    oui, mais l'intuitionnisme a suscité énormément de recherches en logique, et j'aurais aimé au moins me faire une idée du monde auquel je renonce en refusant de décoller mon oeil de l'optique :)
    Et je comptais sur la vivacité des intervenants et la pluralité de leurs points de vue pour secouer la sclérose mentale qui n'a pas manqué de s'installer avec les décennies d'emploi d'un schéma de pensée unique :)
  • Salut,

    il y a déjà eu de nombreuses discussions sur l'intuitionnisme, il suffit de chercher dans les anciens sujets.

    Je dirais juste que l'intuitionnisme est très utile et utilisée dans certains domaines (informatique, théorie des topos,...) et que tout ce qu'Hilbert pensait ne s'est pas forcément vérifié.

    @l
  • Il me semble que cette discussion mérite qu'on y prononce le mot philosophie. Il est vraiment réducteur de considérer l'intuitionnisme comme une simple construction logique. Cette construction s'est faite à posteriori.
    L'idée première de l'intuitionnisme est qu'on ne peut travailler qu'avec des objets que l'on connaît déjà (parce qu'ils plaisent à l'intuition - en premier lieu les entiers - ou qu'il sont construits à partir de ces derniers par des processus de transformations finis). Ca ne signifie en aucune manière qu'il est interdit de parler, voire de raisonner, sur tout autre chose ; mais simplement que ces raisonnement ne peuvent prétendre à une réalité intuitive tangible.
    Typiquement, la démonstration de l'existence de nombre transcendant par les méthodes ensemblistes introduites par Cantor, d'une simplicité et d'une puissance redoutable, n'est pas considérée comme définitive, pour au moins deux raisons :
    - on ne donne pas de construction explicite des nombres transcendants ;
    - on raisonne sur la notion de cardinal infini, ce qui à l'époque n'était intuitif pour personne (absolument personne).
    Pour en revenir à la logique intuitionniste, elle s'offre pour but de classifier les différents niveaux de vérité : "vrai" pour démontrable par des arguments finis, et "pas faux" avec toutes ces nuances de gris. Le problème de cette construction est qu'elle est excessivement lourde dans la pratique courante des mathématiques, alors qu'aujourd'hui on ressent beaucoup mieux le fait de s'écarter du monde fini ou pas. Ajoutant à ça le fait que notre intuition des grandeurs transfinis est très développée (ce qui est à rapprocher de l'acquisition du langage maternelle), la logique intuitionniste reste de nos jours très désuète. La pensée intuitionniste quant à elle est au coeur d'une quantité très honorable de champs mathématiques, et elle a de beaux jours devant elle.
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