pour réviser le bac

borde

J'ai trouvé cet exercice dans le transmath de terminale S (spécialité), et il me paraît suffisamment intéressant pour être livré, ici, à la sagacité des intervenants, en particulier ceux qui révisent pour le bac.

Soit $k \geqslant 2$ entier. A tout entier $n \in [6,6k]$, on fait correspondre l'entier $n^2 + 2$, de sorte que l'on dispose de la suite d'entiers $6^2+2, \, (6+1)^2 + 2, ..., \, (6k)^2 + 2$. Montrer que le nombre $\mathcal {N}(k)$ de nombres premiers de cette suite est $< k$.

Borde.

Lebesgue0

Si je révise pour les concours et non pour le bac, j'ai droit de répondre ?
Je réponds quand même, pour montrer mon savoir incommensurable ;-)

Il suffit de constater que pour que $n^2 + 2$ soit premier, il est nécéssaire que $n$ soit impair, multiple de $3$, ce qui fait $k-1$ cas.

Lebesgue

borde

Bien sûr, tout le monde peut participer. La réponse de Lebesgue a l'avantage d'être rapide et efficace.

Autre méthode : cribler.

Parmi les $6k-5$ entiers de $[6,6k]$, il y en a $3k-2$ pairs (donnant des $n^2+2$ pairs), et $k-1$ entiers $n \equiv 1 \pmod 6$ (resp. $n \equiv -1 \pmod 6$) donnant des entiers $n^2+2$ composés. Ainsi, $\mathcal {N}(k) \leqslant 6k-5 - (3k-2) - 2(k-1) = k-1$.

Borde.