Construction Polygones Réguliers

Bonjour,

lisant un rapport de l'X, un examinateur s'étonnait du peu nombre d'élèves pouvant tracer à la règle et au compas un pentagone régulier...
Et Je crois me souvenir (enfin pas sur du tout) que Gauss avait (très jeune) travaillé sur la construction de polygones à p côtés ou p est premier...ce qui est incontestablement le cas le plus dur...

Sauriez-vous comment procéder?

Merci encore de votre aide,

Réponses

  • Bonsoir leo.

    Procéder pour quoi ? Le pentagone ou les autres polygones ?

    Bruno
  • pour le pentagone on m'a donné quelques astuces du type "rosace", mais ce n'est pas très "mathématiques" donc peu extensible à d'autres polygones à p-côtés...
    Ce qui m'interesse c'est plutot une méthode de construction non particulière au pentagone...enfin bon peut etre que j'en demande trop!!

    au pire, je revoie mon prof de maths spé dans une semaine...

    Si vous avez des idées...
  • Salut Léo !

    Pour la construction, tu peux regarder le Carréga "Théorie des corps - La règle et le compas" (A moins que ce soit dans l'autre sens "La règle.."). Un bouquin génial.

    Pour le rapporteur de l'X, ce doit être un spécialiste de géométrie, car ce type de construction ne s'enseignant plus, il faut être tombé dessus un jour pour connaître, ou bien être plutôt costaud ! Même s'il existe des constructions assez simples.

    Cordialement
  • Ma mémoire n'est pas si mauvaise que cela:

    En 1796, âgé de 18 ans, Gauss réussit à dessiner un polygone à 17 côtés à la règle et au compas. Cette construction le conduit à un résultat d’une grande ampleur : un polygone régulier à n côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si n est une puissance de deux où le produit d’une telle puissance par un ou plusieurs nombres de Fermat...

    mais on ne sait toujours pas comment tracer ce polygone!!!
  • Tu en demandes même beaucoup :-)

    En fait Gauss a montré, très jeune un résultat qui mène à :

    {\it Les polygones constructibles sont ceux sont ceux dont le nombre $n$ de côtés sont de la forme $2^k$ pour un entier $k$ ou de la forme $2^kp_1...p^r$ où les entiers $p_i$ sont des nombres {\bf premiers} de Fermat (2^{(2^p)} + 1).}

    Au delà, la construction dépend totalement du polygone.

    Pour le pentagone, la construction la plus claire, à mon sens, consiste à construire géométriquement les cosinus des angles $\dfrac{2\pi}5$ et $\dfrac{4\pi 5}$ qui sont les racines de l'équation du second degré $4\,x^2 + 2\,x - 1 = 0$ (sauf erreur).

    Bruno
  • J'oubliais : suis le conseil de Gérard et fait comme moi, conculte le Carrega.

    Bruno
  • Merci pour tous vos précieux conseils, je vais m'empresser de consulter le Carrega juste une question sur le pentagone:

    j'avais pensé à construire un angle de 2Pi/5, mais à la règle et au compas, un peu dur et surtout je ne vois pas comment exploiter le trinome que Bruno donne...

    merci encore
  • Bonjour,

    C'est aussi dans le livre de géométrie de DJ Mercier (le carrega étant la meilleure source, mais si tu ne le trouve pas....).
  • Je t'explique : on se donne un repère cartéisen orthonormé d'origine $O$ par rapport auquel on détermine les coordonnées ou les affixes des points.

    Les deux racines du trinôme sont $a= \cos\dfrac{2\pi}5$ et $b = \cos\dfrac{4\pi}5$ ce sont donc les abscisses des sommets $A_1(e^{2i\pi/5})$ et $A_4(e^{-2i\pi/5})$ pour le premier et des sommets $A_2$ et $A_3$ pour le second. Construire les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(a,0)$ et $(b,0)$ permet d'obtenir le pentagone.

    On a $a + b = -\dfrac 1 2$. Les points $A$ et $B$ sont donc symétriques par rapport au point $I(-1/4,0)$. Le produit $ab = -\dfrac 1 4$ s'interprète par :
    $$\overline{OA} \ldotp \overline{OB} = \overline{OJ} \ldotp \overline{OK}$$avec $J(0,1/2)$ et $K(0,-1/2)$. {\bf Donc les quatre points $A,\ B,\ J,\ K$ sont cocycliques}. Les points $A$ et $B$ sont donc situés sur le cercle de centre $I$ passant par $J$ et ces deux points se construisent en divisant certains segments en deux !

    On obtient donc la construction du pentagone sur la figure ci dessous (ce n'est pas la seule, mais elle est caractéristique du problème).

    Bruno4462
  • Merci beaucoup Bruno...ouf ca fait pas de mal de se replonger dans la géométrie pour un pauvre taupin à un mois de l'Oral!!!
  • "un examinateur s'étonnait du peu nombre d'élèves pouvant tracer à la règle et au compas un pentagone régulier"
    Bien que j'adore la géométrie à la règle et au compas, si cela a été dit comme ça c'est vraiment un commentaire d'abruti .
    Je peux comprendre qu'on demande à un candidat de trouver comment tracer ce pentagone (encore que c'est franchement injuste comparé au type qui aura un truc bateau sur les séries), mais je ne vois pas en quoi il est étonnant qu'on ne sache pas de tête tracer des pentagones.

    Par contre je confirme que le Carréga est un super bouquin, il explique avec une très grande clarté comment fabriquer divers polygones réguliers et bien d'autres choses.
    Il ne me semble pas que Gauss ait construit le polygone à 17 cotés, je crois (mais je peux bien sur me tromper) qu'il avait seulement montré que ce polygone était constructible (la construction était abominable, tout comme les calculs).
  • Il y a une construction de l'heptadécagone dans le Hardy et Wright si mes souvenirs sont bons.
  • Pour ceux que ca intéresse le rapport de l'X que j'évoque est - si ma mémoire est toujours aussi bonne- celui de la filière PC 2005...donc tout récent!
  • Bonsoir

    Il y a presque 2 ans, on avait discuté du pentagone sur le forum
    <http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=89096&t=88854&gt;

    Alain
  • Gauss n' a jamais construit explicitement le polygone à 17 côtés, montrer que c'est constructible et trouver une construction explicite sont 2 choses bien différentes...
  • D'un autre côté, une construction effective n'est pas bien difficile, puisqu'en fait, si je me rappelle bien, le but de la preuve est de montrer que $\cos(2\pi/17)$ s'exprime en "emboîtant" des racines carrés. Donc, à grands coups de Pythagore, on construit un segment de longueur $\cos(2\pi/17)$, puis un arc de longueur $2\pi/17$. Il faudrait que je retrouve les discussions arithmétiques, mais je pense que la construction était à la portée de Gauss.
  • Je ne crois pas. Carréga détaille le calcul qui donne la valeur de $cos(\frac{2\pi}{17})$, et à la fin on obtient une valeur qui est réellement abominable. Genre trois ou quatre racines carrées à la suite, en tout cas le genre de choses qui ne donnent pas envie de fabriquer une telle longueur (ce que dit d'ailleurs l'auteur!).
    Plus tard dans le bouquin il y a une autre construction, mais elle est assez astucieuse si je me souviens bien.
  • Le Furet à raison , dans le livre des nombres de Conway,
    on y construit le polygone à 17 côtés à la règle et au compas avec la méthode et les explications relativement simples.
  • Je dispose d'un scan de la dernière section des Recherches arithmétiques de Gauss, consacrée au polygône régulier à 17 côtés : pour ceux que cela intéresse, me contacter par mail.

    Gauss ne décrit pas explicitement la construction en question mais il était bien clair pour lui comment faire une telle construction. Le principe est que si l'on sait construire un segment de longueur $x$ alors on sait aussi construire un segment de longueur $\sqrt{x}$. A partir de là, il est évident que l'on peut construire n'importe quel nombre s'écrivant en emboîtant des racines carrées et des fractions. Bien sûr, la construction peut s'avérer fastidieuse...

    Une autre précision : on ne sait construire les polygônes réguliers que lorsque le nombre de côtés est un produit de nombres de Fermat {\it premiers} et {\it deux à deux distincts}. Par exemple, il est impossible de construire le polygône régulier à 9 côtés à la règle et au compas.

    Enfin, le critère de constructibilité des polygônes réguliers pour un nombre quelconque de côtés n'est pas démontré par Gauss. Une implication est démontrée dans les Recherches arithmétiques. L'autre est plus difficile; à la fin des Recherches arithmétiques, Gauss laisse entendre qu'il sait démontrer des choses à ce sujet (mais ne disposant pas du langage de la théorie de Galois, il n'a sans doute pas pu l'écrire). D'ailleurs, j'ignore qui le premier a établi rigoureusement la partie difficile du critère de constructibilité.
  • Personnellement je possède même l'exemplaire des Recherches Arithmétiques :)

    Je voulais juste dire que peut-être l'examinateur attendait simplement que l'élève lui calcule cos(2pi/5) explicitement, et ensuite il reste plus qu'à dérouler, ce qui est simple et correct. Il n'y a pas vraiment de construction meilleure qu'une autre, je pense que tant que c'est correct...
  • Déjà, pour construire un polygone régulier à 17 cotés, il faut un compas de compétition, ou alors le faire avec cabri. Et le faire au tableau proprement avec une ficelle et une craie, je demande à voir (déjà que le 15 cotés en leçon d'agreg, ça prend bien 5 min de développement pour le faire proprement ...).
  • Salut a tous,
    dans le livre de Klein sur la theorie de Galois, vous trouverez un historique de la question (a mon avis mieux que les livres modernes mais c'est un avis personnel). Certaines personnes ont passe leur vie entiere a diminuer le nombre de coup de crayons pour les nombres de Fermat p=4,5 etc.
    Ceci dit le pentagone c'est facile, je le faisais faire a mes eleves de premiere. Celui a 17 cotes c'est facile aussi, je l'ai fait faire en devoir maison pour mes eleves de 2eme annee (ca se trouve sur ma page web). Le "truc" c'est de ne pas hesiter a faire des construction a cote, e.g., on commence par construire racine de 5 etc.. Ce que je n'ai jamais vu faire dans aucun livre, car la regle etait de faire tout sur un meme dessin.
    On construit pour chaque extension, un nouveau nombre a partir des precedents. Pour le 17-gones on fait trois dessins si je me souviens bien (ce n'est pas la mer a boire). Meme les eleves les plus faibles y arrivent.
    A+,
    M.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.