interpolation

ADSJ0

Bonjour, je cherche à expliciter le polynôme interpolateur de Lagrange $P$ de degré 3 tel que $P(1)=11, P(2)=22,P(3)=33$ et $P(10)=110$.
Est-ce que quelqu'un saurait le calculer avec un logiciel?
Je vous remercie d'avance.

Richard André-Jeannin

Le polynôme de Lagrange de degré <=3 est y=11x (pas besoin de logiciel).

Laotseu0

Pas besoin de logiciel...
$$P=11\times\frac{(X-2)(X-3)(X-10)}{(1-2)(1-3)(1-10)}
+22\times\frac{(X-1)(X-3)(X-10)}{(2-1)(2-3)(2-10)}
+33\times\frac{(X-1)(X-2)(X-10)}{(3-1)(3-2)(3-10)}
+110\times\frac{(X-1)(X-2)(X-3)}{(10-1)(10-2)(10-3)}$$

GERARD

Sans logiciel, P(X) = 11 X.
Et comme c'est le seul de degré inférieur ou égal à 3, il n'y a pas de polynôme de degré 3 exactement qui satisfasse à ces égalités.

Cordialement

Laotseu0

En plus je me suis fait griller au temps :-)

GERARD

Eh oui, Lao-tseu, l'intuition est plus rapide que le calcul !

Cordialement

adsj5

Effectivement, c'est bête, merci d'avoir répondu.

Je vais modifier la question.

Peut-on trouver un polynôme $P$ de degré $2$ ou $3$ , à coefficients entiers (ce serait super, à défaut à coefficients rationnels) tel que pour tout entier $n\in \{0,...,10\}$ $P(n)$ est un multiple de 11.

merci

adsj5

Cela parait beaucoup trop contraignant...

Assouplissons, cherchons $P$ de degré 3, à coeff entiers qui prenne en 5 entiers comme valeur un multiple de 11.

merci

Richard André-Jeannin

Si le polynôme est de degré 3, à coeffs entiers, et s'il prend en 5 entiers une valeur multiple de 11, cela entraîne qu'il admet 5 racines en tant que polynôme dans Z/11Z[X]. Cela ne semble guère possible.

Richard André-Jeannin

Ou bien alors c'est le polynôme nul: P(X)=11*Q(X) avec Q(X) quelconque, répond à la question.

GERARD

Adsj : Prends $P(X) = 11 x^3$

Mais est-ce bien ton problème ?

Alain Debreil

Pas besoin de logiciel...
$$P=11\times\frac{(X-2)(X-3)(X-10)}{(1-2)(1-3)(1-10)}
+22\times\frac{(X-1)(X-3)(X-10)}{(2-1)(2-3)(2-10)} + $$
$$\qquad +33\times\frac{(X-1)(X-2)(X-10)}{(3-1)(3-2)(3-10)}
+110\times\frac{(X-1)(X-2)(X-3)}{(10-1)(10-2)(10-3)}$$