Liouville et les formes quadratiques
Bonjour à tous ;
Liouville dans son journal dans les années 1860 passe le plus clair de son temps à se l'obscurcir en se questionnant sur la représentation des nombres par une forme quadratique particulière donnée. Par exemple, il montre (en 1859, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1859, pp. 47-48))que pour tout entier n(distinct de 3) l'équation :
Pour ce type d'article, il commence par réduire le nombre de cas (pour m) en exhibant des propriétés de la forme. En l'espèce, il écrit : "La forme citée étant une de celles qui se reproduisent par la multiplication, nous savons que dès que la représentation a lieu pour certains nombres, elle a lieu également pour leurs puissances et leurs produits." Ma question : comment démontrer cette propriété de stabilité de la forme par le produit (sorte d'extension de la formule de Lagrange : (a²+b²)(c²+d²) = (ac-bd)² + (ad + bc)²) ? Une démonstration aussi élémentaire que possible. "A la Borde" oserais-je dire par un anachronisme de bon aloi. Merci. Bien à vous. NV
Liouville dans son journal dans les années 1860 passe le plus clair de son temps à se l'obscurcir en se questionnant sur la représentation des nombres par une forme quadratique particulière donnée. Par exemple, il montre (en 1859, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1859, pp. 47-48))que pour tout entier n(distinct de 3) l'équation :
n = x² + y² + 5 (z² + t²)
admet des solutions.Pour ce type d'article, il commence par réduire le nombre de cas (pour m) en exhibant des propriétés de la forme. En l'espèce, il écrit : "La forme citée étant une de celles qui se reproduisent par la multiplication, nous savons que dès que la représentation a lieu pour certains nombres, elle a lieu également pour leurs puissances et leurs produits." Ma question : comment démontrer cette propriété de stabilité de la forme par le produit (sorte d'extension de la formule de Lagrange : (a²+b²)(c²+d²) = (ac-bd)² + (ad + bc)²) ? Une démonstration aussi élémentaire que possible. "A la Borde" oserais-je dire par un anachronisme de bon aloi. Merci. Bien à vous. NV
Réponses
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Salut Norbert,
Voici un début d'idée...
Parfois, on obtient de telles identités en exploitant la {\it complète multiplicativité} de la norme d'éléments d'un anneau des entiers d'un corps de nombres bien choisi. Par exemple, {\it l'identité de Lagrange} que tu cites provient de la norme dans l'anneau $\Z[ \sqrt {-1}]$ des entiers de Gauss.
Plaçons-nous un instant dans $\Z[\sqrt {-5}]$, l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire $\Q(\sqrt {-5})$. Soit $A + B \sqrt {-5}$ un élément de cet anneau. Sa norme vaut $N(A + B \sqrt {-5}) = A^2 + 5 B^2$. Ainsi, si $A + B \sqrt {-5}$ et $C + D \sqrt {-5}$ sont deux éléments de $\Z[\sqrt {-5}]$, alors on a : $$N \left ( (A + B \sqrt {-5})(C + D \sqrt {-5}) \right ) = (A^2 + 5B^2)(C^2+5D^2),$$ par multiplicativité. D'un autre côté, le membre de gauche vaut aussi $N \left ( AC - 5BD + \sqrt {-5} (AD+BC) \right ) = (AC - 5BD)^2 + 5(AD+BC)$. Nous avons ainsi obtenu une identité similaire à celle de Lagrange : $$(A^2 + 5B^2)(C^2+5D^2) = (AC - 5BD)^2 + 5(AD+BC).$$
Revenons à ton identité : soit $n = x^2 + y^2 + 5(z^2 + t^2) = (x^2 + 5z^2) + (y^2 + 5t^2)$ et $m = a^2 + b^2 + 5(c^2 + d^2) = (a^2 + 5c^2) + (b^2 + 5d^2)$. En multipliant ces facteurs et en utilisant l'identité obtenue ci-dessus, on obtient : $$nm = \left { (ax-5cz)^2 + (bx-5dz)^2 + (ay-5ct)^2 + (by-5dt)^2 \right } + 5 \left { ((cx+az)^2 + (dx+bz)^2 + (cy+at)^2 + (dy + bt)^2 \right \}.$$ Cela ne répond pas directement à ton problème, mais c'est peut-être une voie possible.
Borde. -
Salut Norbert,
Voici un début d'idée...
Parfois, on obtient de telles identités en exploitant la {\it complète multiplicativité} de la norme d'éléments d'un anneau des entiers d'un corps de nombres bien choisi. Par exemple, {\it l'identité de Lagrange} que tu cites provient de la norme dans l'anneau $\Z[ \sqrt {-1}]$ des entiers de Gauss.
Plaçons-nous un instant dans $\Z[\sqrt {-5}]$, l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire $\Q(\sqrt {-5})$. Soit $A + B \sqrt {-5}$ un élément de cet anneau. Sa norme vaut $N(A + B \sqrt {-5}) = A^2 + 5 B^2$. Ainsi, si $A + B \sqrt {-5}$ et $C + D \sqrt {-5}$ sont deux éléments de $\Z[\sqrt {-5}]$, alors on a : $$N \left ( (A + B \sqrt {-5})(C + D \sqrt {-5}) \right ) = (A^2 + 5B^2)(C^2+5D^2),$$ par multiplicativité. D'un autre côté, le membre de gauche vaut aussi $N \left ( AC - 5BD + \sqrt {-5} (AD+BC) \right ) = (AC - 5BD)^2 + 5(AD+BC)$. Nous avons ainsi obtenu une identité similaire à celle de Lagrange : $$(A^2 + 5B^2)(C^2+5D^2) = (AC - 5BD)^2 + 5(AD+BC)^2.$$
Revenons à ton identité : soit $n = x^2 + y^2 + 5(z^2 + t^2) = (x^2 + 5z^2) + (y^2 + 5t^2)$ et $m = a^2 + b^2 + 5(c^2 + d^2) = (a^2 + 5c^2) + (b^2 + 5d^2)$. En multipliant ces facteurs et en utilisant l'identité obtenue ci-dessus, on obtient : $$n m = \left \{ (ax-5cz)^2 + (bx-5dz)^2 + (ay-5ct)^2 + (by-5dt)^2 \right \} + 5 \left \{ (cx+az)^2 + (dx+bz)^2 + (cy+at)^2 + (dy + bt)^2 \right \}.$$ Cela ne répond pas directement à ton problème, mais c'est peut-être une voie possible.
Borde. -
$$n m = \left \{ (ax-5cz)^2 + (bx-5dz)^2 + (ay-5ct)^2 + (by-5dt)^2 \right \} + $$ $$ \qquad + 5 \left \{ (cx+az)^2 + (dx+bz)^2 + (cy+at)^2 + (dy + bt)^2 \right \}.$$
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Comme il y a quatre carré, je me placerai plutôt dans les quaternions à coefficient complexe. On note $u$ un nombre complexe tel que $u^2 = -5$ et $v$ le conjugué de $u$ (je ne veux pas utiliser la notation i pour qu'il n'y ait pas de confusion avec celui des quaternions). On considère ceux de la forme
$x + yi + zuj + t vk$ avec $x,y,t,z \in \Z$ est alors un sous-anneau des quaternions à coefficient complexe. La norme (au sens de la norme d'un quaternion et pas au sens topologique) d'un quaternion de ce type est bien $x^2 + y^2 + 5(z^2 + t^2)$ et les quaternions de cette forme sont stables par produit. On obtient le résultat voulu puisque la norme d'un produit est le produit des normes.
Vincent -
Merci beaucoup pour vos contributions. D'un point de vue historique, les pistes évoquées par Borde sont, ce me semble, à la portée de Liouville. Je vais essayer de creuser. En revanche, pas la piste quaternions! Ils ont mis beaucoup de temps pour traverser la Manche. Ce qui me chagrine dans les textes de Liouville, c'est qu'il évoque sans arrêt ce type de propriétés (sans dire d'où elles sortent ?) : autre exemple : "Comme la forme x² + 3 y² + 4 z² + 12 t² est une de celles qui se reproduisent par la multiplication ...". Je pensais initialement que c'était élémentaire. Bonne journée à vous.
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On peut obtenir d'autres identités via cette méthode :
(i) En se plaçant dans $\Z[\sqrt {d}]$, il vient : $$(a^2 - db^2)(c^2-de^2) = (ac+bed)^2 - d (bc + ae)^2.$$
(ii) En se plaçant dans $\Z[j]$, on obtient : $$(a^2 - ab + b^2)(c^2 - cd + d^2) = (ac-bd)^2 - (ac-bd)(ad+bc-bd) + (ad+bc-bd)^2.$$
etc.
Borde. -
Effectivement la notion de norme sur des anneaux particuliers a l'avantage d'être productrice de formules en tout genre et d'être unificatrice. Liouville produit des centaines de notes qui sont autant de notes liées à des formes quadratiques particulières. Mais j'ignore comment il procédait exactement car il est très expéditif dans ses démonstrations. Je profite de ta réponse Olivier pour te poser une question : dans ton livre tu évoques une "formule de Lebesgue" (Annexe A, pp. 215) (qui affirme que le carré d'une somme de quatre carrés est une somme de trois carrés). Connais-tu à tout hasard le texte d'origine ? (Lebesgue fait partie de "mes" mathématiciens car il était, entre autre, l'un des piliers du journal de Liouville mais j'ignore le texte source. Je n'ai pas non plus cherché outre mesure). Amicalement. Norbert.
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En regardant d'un peu plus près mon dossier Lebesgue. Il s'avère que la formule de Lebesgue provient d'une note qu'il a publié au CRAS (1868, tome 66, pp. 396-398). Dans cette note, intitulée "Sur une identité qui conduit à toutes les solutions de l'équation t^2 = x^2+y^2+z^2", Lebesgue déduit au final (en particularisant)la formule que Borde lui attribue dans son livre. En tout cas, c'était bien de médiatiser Lebesgue, car il est un peu passé à la trappe aujourd'hui alors qu'il a été un mathématicien important au XIX ème (par ses contributions mais aussi et peut-être surtout par sa bonne connaissance des mathématiques d'outre rhin qu'il a contribué à diffuser en France en traduisant, en sollicitant des traductions, etc). Quant à Liouville et ses formes quadratiques, nous aurons l'occasion d'en reparler. Bonne soirée. Amicalement. Norbert.
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Salut Norbert,
Je n'ai aucun souvenir quant à une référence sérieuse de cette formule, il s'était agi ici de mettre des identités glanées au hasard de mes "pérégrinations mathématiques".
Mon message ci-dessus était un peu hors-sujet, mais il était destiné à montrer comment l'on peut "découvrir" des identités non triviales via une idée simple mais efficace.
Quant à Lebesgue, oui tu as raison, il ne faut pas l'oublier, même si, je pense, ses recherches furent en général assez loin de l'arithmétique (je parle pour moi, bien entendu).
Borde.
PS. Norbert : j'ai presque fini le travail que tu m'as demandé ! -
Hello,
La forme quadratique diagonale $q=\langle 1,a,b,ab\rangle$ est multiplicative, c'est-à-dire que pour tout $v,w$ il existe $y$ tel que $q(v)q(w)=q(y)$.
Cela se généralise en dimension supérieure. Par exemple, $$q=\langle 1,a,b,c,ab,ac,bc,abc\rangle$$ est multiplicative.
Je vous laisse trouver la généralisation avec $n$ paramètres. Pour ceux que ça intéresse, ces formes s'appellent des formes de Pfister.
Malheureusement, ce sont des formes quadratiques sur des corps, et les arguments donnés pour prouver la multplicativité ne se généralisent pas au cas des anneaux. Malgré tout, je pense que l'on peut s'en sortir sur $\mathbb{Z}$ en passant par $\mathbb{Q}$ et en faisant un petit raisonnement d'arithmétique.
(Je n'ai pas le temps de regarder cela maintenant, hélas)
[Modifié selon ton indication. AD]
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