cyclotomie

Bonjour, j'ai une question.


$\K$ désigne une extension finie de $\Q$.

Un nombre $a$ de $\K$ différent de 0 et 1 peut-il admettre pour tout entier $n$ non nul une racine $n$-ième qui soit dans $\K$?
Je conjecture que la réponse est non.



Sur ce même forum, j'avais posé une question dans le genre, et on m'avait
suggéré de montrer que $\K$ contenait alors des extensions cyclotomiques de degré arbitrairement grand...

Pour cela, il faudrait montrer que pour tout $n$, $a$ admet 2 racines $n$-ièmes $b_n$ et $c_n$, alors $b_n/c_n$ serait serait une racine $n$ième de l'unité car $a=b_n^n=c_n^n$ donc $(b_n/c_n)^n=1$...

Rq: si $\K=\Q$, je sais le démontrer, mais je n'arrive pas à l'adapter même pour une extension quadratique.

merci par avance

Réponses

  • En se restreignant au cas ou n est pair , tu as tes deux solutions et ta réponse , non ?

    Domi
  • Domi, en fait le problème c'est que avec $c_n=- b_n$, on récupère -1 comme racine de l'unité qui n'engendre rien du tout.
    En fait il faudrait pouvoir montrer que $\K$ contient une infinité de racines de l'unité, ce qui permettrait de conclure.


    J'avais essayé une autre piste avec les normes (le problème c'est que je connais peu de choses là-dessus,je sais juste qu'elles sont multiplicatives et valeurs dans $\Q$).

    Ainsi si $a=b_n^n^$, en passant à la norme $N$, j'obtiens que $N(a)=(N(b_n)^n)$ et comme j'ai démontré ma conjecture sur $\Q$, on en déduit que $N(a)=1$ car $a\neq 0$, mais bon...
  • En ce qui concerne les racines $n-$èmes de l'unité, on a le résultat connu suivant : {\it si $\K / \Q$ est un corps de nombres quelconque, alors il ne contient qu'un nombre fini de racines de l'unité} (Kronecker).

    De plus, on sait que le groupe des racines de l'unités de $\K$ est cyclique d'ordre pair.

    Ceci aide-t-il ?

    Borde.
  • bonjour Borde, c'est justement l'argument que je voulais utiliser.
    Pour démontrer ce résultat de Kronecker (j'avais vu cet exo dans le Perrin), il me semble que l'ingrédient essentiel est que $\varphi(n)$ tend vers l'infini lorsque $n$ tend vers l'infini car pour tout $\varepsilon$,
    $$n^{1-\varepsilon}=o(\varphi(n)).$$

    Tout mon problème est effectivement de montrer que $ \mathbb{K}$ contient une infinité de racines de l'unité, avec le résultat de Kronecker, on obtient une contradiction qui permet de conclure.

    Questions:

    1) Pensez vous que la conjecture est vraie?

    2) Pensez vous que ce soit utile de savoir que $a$ est de norme 1?
    Dans $\Q(i)$, on sait caractériser tous les éléments de norme 1, avec les triplets pythagoriciens...



    merci
  • Le théorème de Dirichlet te donne la structure du groupe des unités de n'importe quel corps de nombres $\K / \Q$, donc tu connais la forme des éléments de norme $1$ ave ce théorème.

    La preuve du théorème de Kronecker que je connais n'utilise pas l'indicateur d'Euler, mais seulement le fait que, si $a \in \K$ vérifie $a^n = 1$ pour un certain entier $n \geqslant 1$, alors tous ses conjugués sont de norme 1, et ainsi les coefficients du polynôme caractéristique de $a$ sont bornés.

    En ce qui concerne les corps quadratiques, les cas réel et imaginaire sont totalement distincts :

    (i) Si $\K = Q(\sqrt d)} avec $d < 0$ (donc corps quadratique imaginaire), alors le groupe des unités $(\Z_{K})^{\times}$ de $\K$ vérifie $(\Z_{K})^{\times} \simeq \Z / 4 \Z, \, \Z / 6 \Z, \, \Z / 2 \Z$ selon que $d=-1, \, -3$ ou $d \not = -1,-3$ respectivement. C'est le seul cas (avec $\Q$ bien entendu) où ce groupe est fini.

    (ii) Si $\K = Q(\sqrt d)} avec $d > 0$ (corps quadratique réel), alors le groupe des unités est engendré par $\pm 1$ et une unité fondamentale $\gamma > 1$, solution fondamentale de l'équation de Pell-Fermat $x^2 - dy^2 = 1$ correspondante.

    Borde.
  • Le théorème de Dirichlet te donne la structure du groupe des unités de n'importe quel corps de nombres $\K / \Q$, donc tu connais la forme des éléments de norme $1$ avec ce théorème.

    La preuve du théorème de Kronecker que je connais n'utilise pas l'indicateur d'Euler, mais seulement le fait que, si $a \in \K$ vérifie $a^n = 1$ pour un certain entier $n \geqslant 1$, alors tous ses conjugués sont de norme 1, et ainsi les coefficients du polynôme caractéristique de $a$ sont bornés.

    En ce qui concerne les corps quadratiques, les cas réel et imaginaire sont totalement distincts :

    (i) Si $\K = Q(\sqrt d)} avec $d < 0$ (donc corps quadratique imaginaire), alors le groupe des unités $(\Z_{K})^{\times}$ de $\K$ vérifie $(\Z_{K})^{\times} \simeq \Z / 4 \Z, \, \Z / 6 \Z, \, \Z / 2 \Z$ selon que $d=-1, \, -3$ ou $d \not = -1,-3$ respectivement. C'est le seul cas (avec $\Q$ bien entendu) où ce groupe est fini.

    (ii) Si $\K = Q(\sqrt d)$ avec $d > 0$ (corps quadratique réel), alors le groupe des unités est engendré par $\pm 1$ et une unité fondamentale $\gamma > 1$, solution fondamentale de l'équation de Pell-Fermat $x^2 - dy^2 = 1$ correspondante.

    Borde (doublon à virer. Merci).
  • Le théorème de Dirichlet te donne la structure du groupe des unités de n'importe quel corps de nombres $\K / \Q$, donc tu connais la forme des éléments de norme $1$ avec ce théorème.

    La preuve du théorème de Kronecker que je connais n'utilise pas l'indicateur d'Euler, mais seulement le fait que, si $a \in \K$ vérifie $a^n = 1$ pour un certain entier $n \geqslant 1$, alors tous ses conjugués sont de norme 1, et ainsi les coefficients du polynôme caractéristique de $a$ sont bornés.

    {\bf Exemple d'application du théorème de Dirichlet} : En ce qui concerne les corps quadratiques, les cas réel et imaginaire sont totalement distincts :

    (i) Si $\K = Q(\sqrt d)$ avec $d < 0$ (donc corps quadratique imaginaire), alors le groupe des unités $(\Z_{K})^{\times}$ de $\K$ vérifie $(\Z_{K})^{\times} \simeq \Z / 4 \Z, \, \Z / 6 \Z, \, \Z / 2 \Z$ selon que $d=-1, \, -3$ ou $d \not = -1,-3$ respectivement. C'est le seul cas (avec $\Q$ bien entendu) où ce groupe est fini.

    (ii) Si $\K = Q(\sqrt d)$ avec $d > 0$ (corps quadratique réel), alors le groupe des unités est engendré par $\pm 1$ et une unité fondamentale $\gamma > 1$, solution fondamentale de l'équation de Pell-Fermat $x^2 - dy^2 = 1$ correspondante.

    Borde (doublon à virer. Merci).
  • merci pour les informations, je vais les lire attentivement et voir si ça permet d'avancer.<BR>
  • Pour ta conjecture , intuitivement elle semble juste ( mais on sait qu'il faut parfois se méfier des intuitions ) . Sinon je ne vois pas par quel bout l'attaquer ( peut-être comme tu le suggères commencer par regarder ce qui se passe pour une extension quadratique ) .

    Domi
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