Espace séparable

Bonjour,

Je suis un peu (complètement !) rouillée en topologie et j'ai besoin de m'y remettre pour regarder un peu mieux les propriétés de certains espaces fonctionnels. J'ai une question (presque sûrement bête) à vous poser.

Voilà :
On définit $D(\R)$, l'espace des fonctions càdlàg (=cont. à droite et ayant une limite à gauche) en chaque "point" de $\overline{\R}$. Ces fonctions sont bornées, on munit alors cet espace de la norme infinie.

Il n'est pas séparable.

Dans mon fascicule, j'ai :
"il est aisé de noter que $\|f_x -f_y\|_{\infty} = 1$ si $x\neq y$" ($f_x$ est définie de la façon suivante : $f_x (y) = 1(y\le x)$ (avec 1, la fonction indicatrice). Jusque là, je comprends tout.

Ensuite, il est indiqué :
"en utilisant les boules en norme uniforme de D(R) centrées aux points $f_x$ et de rayon 1, on montre que cet espace n'est pas séparable"

Bon, donc, je dois considérer (si j'ai compris) l'ensemble
$E=\{ B(f_x , 1) ; x \in \R \}$. Avec ce qu'on a montré, si on choisit $x$ élement de $\R$, chaque $y$ réel distinct de $x$ a sa fonction $f_y$ sur la frontière de la boule centrée en $f_x$. Cet ensemble E (non dénombrable) est inclus dans $D(\R)$. Donc on a un sous ensemble non dénombrable de D(R).

Mais en quoi ça prouve que D(R) ne contient pas de suite dénombrable dense (qui est la définition de la séparabilité sauf erreur de ma part) ?

Ca doit être tout bête, mais pour le moment, j'vois pas.....

Merci par avance !
Crou!

Réponses

  • Le niveau est passé à la trappe quand j'ai édité ...
    donc Thème : Topologie
    Niveau : L3

    Désolée ...
  • Car ces boules sont toutes disjointes, et elles ne sont pas dénombrables

    Dans un espace séparable, tout famille de boules disjointe contient au moins un élément du sous espace dense, elles sont donc numérotés par ces éléments (les boules sont disjointes !). Tu as donc une preuve par l'absurde que cet espace est non séparable
  • il faudrait mieux considérer les boules de rayon 1/3 pour quelles soient disjointes


    (pourquoi ces numéros à recopier ? il y a-t-il du flood sur le forum ?)
  • ok, donc je résume : on suppose que D est séparable, on en déduit qu'il existe un ensemble dénombrable dense dans D. On peut identifier ces boules par le ou les éléments qu'elle contient et donc les numéroter, ce qui est impossible puisqu'elles sont clairement disjointes !

    Merci Sasha !
    Je sais : c'était immédiat...

    Tant qu'on y est : quelqu'un a de la doc sur la métrique qui rend cet espace séparable (dite de Skorohod) ?
  • ben en fait les boules considérées sont ouvertes je pense, donc 1 doit être bon.
    Crou!

    (apparemment pour éviter les numéros, faut s'inscrire)
  • non 1 n'est pas bon car le diametre d'une boule est egal à deux

    euh une topologie qui rend cet espace séparable c'est pas évident, car ces fonctions ne sont ni bornées, ni integrables :( Je me souvient que cet espace pose des problemes en statistiques car il rends les processus empiriques non mesurables.

    regarde du coté des topologies faibles, mais la ça me dépasse
  • a pardon elles sont bornées (pas vu le $\overline{\R}$, je suis rouillé aussi !)

    elles sont définies sur $\overline{\R}$ ou R?
  • Chaque élément est séparé d'une distance de 1 d'un autre et un élément est au centre de la boule, donc si on en a un autre dans la boule, il est forcément à une distance inférieure à 1 du centre, et c'est impossible non ???

    En tous cas, encore merci !

    (Tu as tapé dans le mille : je fais des stats et je m'intéresse justement aux processus empiriques, j'avais pas besoin de ça avant mais là, je veux tenter un résultat fonctionnel... Je sais que la métrique à considérer est appelée métrique de Skorohod mais je vais me renseigner sur le reste)
  • euh oui tu as raison pardon lol

    Les processus empiriques c'est quelque chose d'affreux ! Tu fais ca dans quelle université ?

    Je me souvient de ce problème de mesurabilité concernant la convergence en loi du processus de Donsker, qui n'est plus vraiment une convergence en loi car il n'est pas mesurable. Je me souvient aussi qu'il faut changer la metrique car la tribu borelienne de la norme uniforme est trop grosse (ce qui engendre la non mesurabilité), c'est tout ce qui me reviens à l'esprit.

    Si tu cherches des papiers, cherche du coté de Philippe Berthet, un chercheur en stat, il a été mon prof en DEA.

    (personnellement je n'ai rien capté tellement c'était dur lol)
  • En fait, je les ai utilisés dans ma thèse en stats, mais pour ce qui est des espaces fonctionnels, je n'ai pas eu à me titiller avec des choses trop compliquées puisque "notre" démo de convergence en loi ne le demandait pas.

    Là, j'essaie de me débrouiller un peu seule pour faire un papier (je suis "nouvellement" nommée MCF), mais ce que je veux faire nécessite d'approfondir le côté probabiliste de la chose : donc me voilà en train de potasser des polys trouvés sur le net avant d'attaquer le bouquin de Pollard en profondeur.

    Et je n'ai pas eu ta chance : pas de cours de DEA sur ces espaces dans ma jeunesse !

    Tu as fait ça dans un DEA de proba peut-être ???
  • J'ai fait un DEA de stat l'an dernier, et j'ai eu un cours sur les processus empirique, je me souviens que c'était très dur.

    En fait tu recherches une autre topologie pour démontrer une "vraie" convergence en loi du processus de Donsker ("vraie" en ce sens que le processus est mesurable), c'est ca ?
  • Sans rentrer dans les détails et puisque tu es curieux, voilà :
    je voulais voir si un résultat du bouquin (sur les processus empiriques) de Pollard se généralise. Je connais déjà bien une partie de ce bouquin mais je dois regarder la suite pour ce qui m'intéresse maintenant. Je suis tombée sur une discussion sur les espaces de Skorohod et cette histoire de pbm de mesurabilité que je n'ai pas bien comprise.

    Du coup, je me suis dit qu'il fallait que je regarde d'abord la théorie des processus empiriques plus en détails (et surtout d'un point de vue plus probabiliste que celui que je connais déjà).

    Voilà comment j'en suis à lire un poly trouvé sur le net. C'est de là que venait ma question initiale.

    Dedans, ils affirment que la métrique de Skorohod rend cet espace séparable mais ils disent que ça dépasse le cadre du poly. Je me suis que tant qu'à actualiser mes connaissances sur le sujet, autant y aller à fond.

    Mais mes préoccupations de départ sont statistiques, j'ai seulement besoin d'un résultat de proba qui consiste à généraliser celui de Pollard (enfin l'adapter à mon cas).
  • Bonjour,

    Pour crou! : serait-il possible d'avoir le lien pour télécharger ton poly ?

    Merci
  • Voilà, pour Cyrille : <http://www.crest.fr/pageperso/doukhan/SE328.pdf&gt;

    Disons que cela semble être un résumé des principaux théorèmes (mais en version simplifiée par rapport aux bouquins cités).
  • merci pour le lien ;-)
  • prière de m'expliquer (éclaireté ): A fermé dans X ssi tout fermé dans A et fermé dans X ?
  • Ben, si tout fermé dans $A$ est fermé dans $X$, alors $A$ qui est fermé dans $A$ est un fermé de $X$.
    La réciproque est tout aussi évidente.
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