injection dans les deux sens entre groupe

...

Je me demandais si dans la theorie des groupes on avait le theoreme de Cantor-Bernstein :
savoir si étant donne deux groupes A et B
et un morphisme injectif de A dans B et un autre de B dans A
savoir si A et B sont isomorphe

Bon c'est trivialement vrai dans les groupes finis
Le reste je ne sais pas

Laotseu0

Bonjour, je n'ai pas de réponse précise à la question, mais je ne pense pas. Si on considère
$$G_1=(Z/2Z)\times (Z/4Z)\times (Z/8Z)\times ...$$
$$G_2=(Z/4Z)\times (Z/8Z)\times (Z/16Z)\times ...$$
Alors $\varphi_1: (x_1,x_2,\dots)\to (0,2x_1,2x_2,\dots)$ injecte $G_1$ dans $G_2$, tandis que $G_2$ s'injecte canoniquement dans $G_1$. Maintenant je ne pense pas que $G_1$ et $G_2$ soient isomorphes, mais quels arguments pour le prouver (ou pour l'infirmer) ?

Laotseu0

Je me suis planté dans l'injection précédente, c'est directement $(x_1,x_2,\dots)\to (2x_1,2x_2,\dots)$ tandis que l'injection de $G_2$ dans $G_1$ est la translation d'un cran à droite.

michael

Bonjour, je n'ai pas de réponse précise à la question, mais je ne pense pas. Si on considère

$\displaystyle{G_1=(\Z/2 \Z)\times (\Z/4 \Z)\times (\Z/8 \Z)\times ...}$

$\displaystyle{G_2=(\Z/4 \Z)\times (\Z/8 \Z)\times (\Z/16 \Z)\times ...}$

Alors $(x_1,x_2,\dots)\to (2x_1,2x_2,\dots)$ injecte $G_1$ dans $G_2$, tandis que l'injection de $G_2$ dans $G_1$ est la translation d'un cran à droite.
Maintenant je ne pense pas que $G_1$ et $G_2$ soient isomorphes, mais quels arguments pour le prouver (ou pour l'infirmer) ?


[Corrigé selon tes indications. AD]

Toto.le.zero

l'unicité de la décomposition d'un groupe abélien en produit de groupes cycliques montre l'unicité. C'est loin d'être trivial.

will7

Bonsoir tout le monde,
Je me trompe peut-être mais Cantor Bernstein concerne les ensembles, or les groupes sont justement des ensembles !
Donc pour moi Cantor Bernstein s'applique !
Bonne soirée a tous !

Yann.

Un isomorphisme de groupes n'a pas la même définition qu'une simple bijection entre ensembles

jobherzt

Cantor Berstein s'intérresse au cardinal des ensembles. L'isomorphisme de groupe suppose non seulement la même cardinalité, mais s'intérresse aussi à une identité de structure, ce qui change pas mal de choses...

bosio frederic0

Un morphisme de groupes bijectif est un isomorphisme de groupes. Donc, entre ensemble finis, l'egalite des cardinaux suffit immediatement.

La propriete est toutefois fausse pour les groupes infinis. Par exemple, si on prend deux groupes libres a k et k' generateurs, avec k et k' > 1, alors chacun de ces deux groupes s'injecte dans l'autre (par un morphisme de groupes bien entendu).

Yann.

Avec la condition <B>morphisme</B> + bijectif entre groupes finis, c'est clair ! J'avais mal lu l'énoncé !<BR>

alekk11

un exemple classique qui montre que cela ne marche pas en général:
On prend $G$ le groupe des $(g_1,g_2,..,g_k,..)$ où $g_k \in \frac{\mathbb{Z}}{\mathbb{2^{k+1}Z}}$ et $H$ le groupe des $(h_1,h_2,..,h_k,..)$ où $h_k \in \frac{\mathbb{Z}}{\mathbb{2^{k}Z}}$. (avec l'addition composante par composante bien sûr)

Alors $(g_1,g_2,..,g_k,..)->(0,g_1,g_2,..,g_k,..)$ est injectif de $G$ vers $H$ et $(h_1,h_2,..,h_k,..)->(2h_1,2h_2,,..,2h_k,..)$ est injectif de $H$ vers $G$. Cependant $G$ et $H$ ne sont pas isomorphes car si $g \in G$ vérifie $g+g=0$ alors $g=2g'$ pour un certain $g' \in G$. Mais cela ne marche pas pour $(1,0,0,..,0,..) \in H$

Alain Debreil

Un exemple classique qui montre que cela ne marche pas en général :
On prend $G$ le groupe des $(g_1,g_2,\ldots,g_k,\ldots)$ où $g_k \in \mathbb{Z}/2^{k+1}\mathbb{Z}$ et $H$ le groupe des $(h_1,h_2,\ldots,h_k,\ldots)$ où $h_k \in \mathbb{Z}/2^{k}\mathbb{Z}$ (avec l'addition composante par composante bien sûr)
[C'est à dire $H=\Z/2\Z \times\Z/4\Z \times\ldots\times \Z/2^{k}\Z \times\ldots$ et $G=\Z/4\Z \times\Z/8\Z \times\ldots\times \Z/2^{k+1}\Z \times\ldots$. AD]
Alors $(g_1,g_2,\ldots,g_k,\ldots)\longmapsto (0,g_1,g_2,\ldots,g_k,\ldots)$ \quad est injectif de $G \rightarrow H$
et \quad $(h_1,h_2,\ldots,h_k,\ldots)\longmapsto (2h_1,2h_2,,\ldots,2h_k,\ldots)$ est injectif de $H \rightarrow G$.
Cependant $G$ et $H$ ne sont pas isomorphes car si $g \in G$ vérifie $g+g=0$ alors $g=2g'$ pour un certain $g' \in G$. Mais cela ne marche pas pour $(1,0,0,\ldots,0,\ldots) \in H$

...

merci bien pour ces precisions

alekk11

oh merci beaucoup aux Administrateurs pour les corrections Latex. Et désolé d'avoir posté un exemple déjà posté plus haut, j'avoue ne pas avoir lu attentivement le topic en entier..


[Ne sois pas désolé, tu as bien fait d'écrire ton message qui apporte la démo manquante dans le post plus haut. AD]