surjectivité de z*exp(z)
Réponses
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je précise bien sûr sans utiliser le théorème de Picard , sinon c'est triché
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Je m'avance peut-être un peu beaucoup, mais j'ai l'impression qu'il est plus facile de montrer que l'équation $e^u+u=a+ib$ avec $-\pi\leq b
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C'est trop dur. laissez tomber.
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C'est exactement ceque je me suis dit Laur-Enzo c'est pour ça que j' ai posé la question sur ce forum...(ce message a aussi pour but de faire remonter le post!)
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et en passant en fonction de deux variables a valeur dans $\R^2$, ca ne donne rien ?
moi j'ai la flemme de faire un truc pareil, mais il y a peut etre des motives -
Pilz, je n'ai pas trop de temps. Mais est-ce qu'il ne faut pas simplement remarquer que ta fonction est solution d'une equation diff d'ordre 1 dont le seul pole est en l'origine?
M. -
Si tu écris le développement en série entière de $f(z) =z e^z$ en $0$, il ne suffit pas ensuite d'inverser, c'est-à-dire d'exprimer $z$ en fonction de $f$ ?
Tu peux toujours le faire, au moins formellement, car le développement commence par $z + O(z^2)$. Reste à voir ensuite le rayon de convergence de la nouvelle série entière. -
Avec l'indication que j'avais donnée, on peut s'en sortir!
Soit $ze^z=Z$ ($Z$ donné), on pose $Z=e^{a+ib}$ avec $a$ réel et $b\in]-\pi;\pi]$. On regarde l'équation $u+e^u=a+ib$ (il suffira ensuite de rendre $z=e^u$). En posant $u=x+iy$ ($x,y$ réels) on obtient: $x+e^x\cos(y)=a$ et $y+e^x\sin(y)=b$.
Si $b=0$ on prend $y=0$ et $x$ solution de $t+e^t=a$.
Si $0 -
Merci beaucoup, P.Fradin
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Y a pas de quoi!
Mais s'il y a une preuve plus élégante, je suis preneur.
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Bonjour!
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