Dunford

Mikaël2

bonjour,

je suis pris d'un doute sur les hypotheses de la decomposition de Dunford, je m'explique:

Soit $ K = \Z / 3\Z ( T ) $, le corps des fractions rationnelles en T à coefficients dans $ \Z / 3\Z $, $ L = K[x] = K[X]/(X^3 - T) $, corps de decomposition de $ X^3 - T = (X - x )^3 $.

Maintenant soit A à coefficients dans L:
$ \left (
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & T \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right )
$

le polynome caracteristique de A est $ X^3 - T $ scindé sur L. son polynome minimal est $ X^3 - T $ donc elle n'est pas diagonalisable.

Ma question est: A admet-elle une decomposition de Dunford, ou bien dans l'hypothese du theoreme de decomposition polynome caracteristique scindé ne suffit pas?

il faut preciser k de caracteristique nulle, ou des hypotheses sur le polynome minimale caracteristique de A?

Mikaël2

En fait ca marche, A admet bien une décomposition de Dunford dans L.

Désolé.

bosio frederic0

La matrice $A$ est simple sur $K$ dans le sens ou les seuls sev invariants par $A$ de $K^3 $ sont $\{ 0 \} $ et $K^3 $. Par contre, $A$ n'est pas semi-simlpe dans $L$ ou elle s'ecrit $Scalaire + Nilpotente$. Donc attention, si on n'est pas en caracteristique nulle, semi-simple n'est pas equivalent a diagonalisable dans une extension.