Coniques

kilébo

Bonjour,

J'aurais besoin de votre aide pour résoudre le pb suivant :

Déterminer la nature, les éléments de symétrie et les asymptotes éventuelles des coniques C1 et C2 définie par :
C1 : $5x^{2}-6xy+5y^{2}=8a^{2}$
C2 : $2\sqrt{3}xy-2y^{2}=a^{2}$

Merci de votre aide.

Bruno

Bonjour kilébo.

N'as-tu pas un cours sur le sujet ?

Bruno

boby3

Salut, qu'as tu deja fait sur cet exo?

archimède0

Il faut commencer par mettre les équations sous forme réduite.
Pour cela on commence par considérer la matrice $A$ de la partie homogène de degré 2 (qui est donc une forme quadratique). On cherche les valeurs propres et une base orthonormée de vecteurs propres ($A$ est symétrique réelle donc on sait a priori qu'il existe une base orthonormée formée de vecteurs propres). On garde l'origine et l'on remplace la base du repère par cette nouvelle base. Alors l'équation n'a plus de terme en $xy$.
etc

kilébo

Pour le premier, j'ai fait une rotation d'angle $\pi{}/4$ (en posant $x=\frac{\sqrt{2}}{2}(X+Y)$ et $y=\frac{\sqrt{2}}{2}(-X+Y)$) pour obtenir :
$(\frac{X}{a})^{2}+(\frac{Y}{2a})^{2}=1$

Ca vous parait juste ?

jean Lismonde0

bonjour

la première conique est une ellipse (et donc n'admet pas d'asymptote)

en effet dans l'équation cartésienne B²- AC= 6²-4.5²=-64 < 0

cette ellipse admet deux axes de symétrie


cordialement

kilébo

Merci Jean. Tu utilises, le discriminant de la conique, c'est ça ?

Mon calcul te paraît juste ?

Je m'attaque à la deuxième...

kilébo

Alors j'ai bien l'impression que cela donne (rotation d'angle $-\frac{\pi}{6}$): $x=\frac{\sqrt{3}}{2}X-\frac{Y}{2}$ et $y=\frac{X}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}Y$.

Ce qui donne :
$(\frac{X}{a})^{2}+(\frac{Y}{a/3})^{2}=1$ qui est l'équation d'une hyperbole.

Bruno

Tu n'as pas l'impression que tu tournes dans le mauvais sens ? Puis tu as mis un signe "$+$" au lieu d'un signe "$-$" dans ton équation finale.

Bruno

stfj

sagemath via

____________________________

def sol(vec):
    vec0=vec[0].rhs()(f3=1)
    vec1=vec[1].rhs()(f3=1)
    return vector([vec0,vec1,1])

var('f1 f2 f3 x y a')
M=vector([x,y,1])
Q=matrix([[5,-3,0],[-3,5,0],[0,0,-8*a^2]])
R=Q^-1
F=vector([f1,f2,f3])
Ox=vector([1,i,0])
Oy=vector([1,-i,0])
FOx=F.cross_product(Ox)
FOy=F.cross_product(Oy)
(S1,S2,S3,S4)=solve([expand(FOx*R*FOx)==0,expand(FOy*R*FOy)==0],f1,f2)
F1=sol(S1)
F2=sol(S2)
F3=sol(S3)    
F4=sol(S4)
print(F1)
print(F2)
print(F3)
print(F4)

directrice1=F1*Q
directrice2=F2*Q
directrice3=F3*Q
directrice4=F4*Q
print(directrice1*M)
print(directrice2*M)
print(directrice3*M)
print(directrice4*M)

___________________________

fournit par exemple $$F=-\frac{1}{2} \, \sqrt{3} \sqrt{2} a:\,-\frac{1}{2} \, \sqrt{3} \sqrt{2} a:\,1$$

_______________________

https://www.geogebra.org/classic/rkef49av

__________________________________

On substitue ici les idées au calcul, l'idée étant de définir les foyers comme tels que les isotropes issus de ces foyers soient tangentes à la conique dans le plan projectif complexifié.