Développée d'une courbe

kilébo

Soit $C_{1}$ la courbe de représentation paramétrique:
$\vec{OM}(\phi)=a(cos(\phi)+ln(tan(\phi{}/2)))\vec{i}+a.sin(\phi)\vec{j}$

Q1 : On note T(M) l'intersection de la tangente en tout point M régulier de $C_{1}$ avec l'axe des abscisses. Calculer la distance de M à T(M)
Q2 : Etablir une représentation paramétrique de la développée de $C_{1}$ en utilisant $\phi$ comme paramètre. Donner une équation cartésienne.

Je trouve $\frac{d\vec{OM}}{d\phi}=a.\frac{cos^{2}(\phi)}{sin(\phi)}\vec{i}+a.cos(\phi)\vec{j}$

Ce qui donne :
Q1 : MT(M) = a. Pouvez-vous me confirmer, svp ?

Pour Q2, je sèche...

kilébo

$\phi$ étant dans $]0, \pi[$

Bruno

Bonjour kilébo.

Je suis d'accord avec la tangente.

Bruno

D'accord également pour la longueur de ton segment de tangente. La courbe est bien une tractrice.

Bruno

Bruno

Pour la second question, quelle définition et quelles caractérisations as-tu de la développée d'une courbe ?

Bruno

kilébo

Bruno (et les autres),

Déjà bonjour (j'avais oublié de le faire, toutes mes excuses)

Voici où j'en suis (et c'est là que je me rends compte que mes connaissances en géométrie sont presques nulles...) :

$\frac{ds}{dt}=|\frac{cos(\phi)}{sin(\phi)}|$

Ce qui me donne :
$\vec{T}=cos(\phi)\vec(i)+sin(\phi)\vec(j)$ pour $\phi$ dans $]0, \pi{}/2[$

Est-ce que cela vous parait juste ?

Ensuite, j'ai envie d'utiliser : $\frac{d\vec{T}}{dt}.\vec{N}=\frac{1}{R}\frac{ds}{dt}$

kilébo

Evidemment, il faut lire $\phi$ là où j'ai mis t (c'est ça de pomper honteusement des formules sans vraiment les comprendre)

kilébo

Ce qui me donnerait :
$R=a\frac{cos(\phi)}{sin(\phi)}$ car ici $\frac{d\vec{T}}{dt}=\vec{N}$

Ca vous parait correcte ?

Bruno

Il y a symétrie relativement à l'axe des ordonnées et tu peux te restreindre à une étude sur l'un des intervalles moitié ; restons donc dans $I = \left]0,\dfrac \pi 2\right[$. Puisque tu as :$$\frac{d\overrightarrow{OM}}{d\phi} = a\,\frac{\cos\phi}{\sin\phi}\,(\cos\phi\,\vec i + \sin\phi\,\vec j),$$tu en déduis le vecteur tangent unitaire et $(\vec i,\overrightarrow T) = \phi \mod 2\,\pi$ donc le paramètre $\phi$ est l'angle polaire de la tangente.

D'une façon générale, le vecteur normal est le vecteur unitaire directement orthogonal au vecteur tangent, donc :$$\overrightarrow N = \frac{d\overrightarrow T}{d\phi} = -\sin\phi\,\vec i + \cos\phi\,\vec j.$$

Ton calcul du rayon de courbure est correct pour $\phi \in I$ ; sinon, il faut tenir compte des effets du point stationnaire.

Bruno

kilébo

Merci beaucoup Bruno !

Le calcul de la développée en elle m'échappe complètement maintenant surtout en coordonnées cartésiennes.

J'essaie d'avancer (en pompant encore et encore. C'est l'appanage des cancres), en écrivant :

$\overrightarrow{MC}=R\overrightarrow{N}$ ce qui me donnerait
$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+R\overrightarrow{N}=a.ln(tan(\frac{\phi}{2}))\vec{i}+\frac{a}{sin(\phi)}\vec{j}$

Pas sûr du tout de mon calcul et le passage en cartésien, mystère...

Bruno

Ca n'a pas l'air mal.

Une petite vérification : en cartésiennes, ta développée a pour équation :$$y = a\,\cosh\left(\frac x a\right)$$

Bruno

kilébo

Merci encore Bruno !

Je regarde ça dès que j'ai une minute.

J'apprécie vraiment ton aide !

Bruno

De rien.

Bruno