produit vectoriel et plus ...

racinedecheveux

Bonjour!
Petite question que je me suis posée :
On va dire que c'est une équivalence, enfin ce n'est pas le terme, mais bon...
On a : déterminant -> produit vectoriel
et pour produit scalaire -> on a quoi ?
Je suppose que s'il n'a pas été introduit c'est que physiquement il ne sert à rien... Mais la question persiste quand même..
Merci d'avance

Amicalement

Lionel210

Produit scalaire : forme bilineaire symetrique definie positive.

J2L21

"" produit scalaire -> on a quoi ? ""

--> dans un espace vectoriel, la distance entre 2 vecteurs u et v peut être

définie comme la racine carrée du produit scalaire de u-v avec lui-même.

Ce qui peut donner naissance à une topologie ...

Bruno

Bonjour racinedecheveux.

Je trouve que ta question relève d'une confusion. Le déterminant d'un $n$-vecteur {\bf relativement à une base orientée} $\cal B$ est défini sur un espace de dimension $n$. On parle trop souvent du déterminant parce que l'on n'envisage que le cas de $\R^n$ lequel possède une base orientée canonique et on confond le déterminant avec le trop fameux tableau tirée de la matrice du $n$-vecteur.

Ce déterminant s'appelle en dimension $3$ le {\bf produit mixte}. Mais en toute dimension, pris relativement à une base orthonormée, il permet de définir le volume des simplexes.

Si l'on fixe les $n - 1$ premiers arguments (vecteurs) dans le déterminant, on obtient une forme linéaire $\phi$. Si nous nous situons dans un espace euclidien (et seulement dans ce cas), il existe un unique vecteur $u$ tel que :$$\froall\,x \quad \phi(x) = (u \mid x).$$En dimension $3$ ce vecteur s'appelle le produit vectoriel des deux premiers arguments. Tu vois qu'il est quand même délicat d'assimiler un déterminant (scalaire) et un produit vectoriel (vecteur). En physique ou en mécanique, le produit vectoriel intervient dans la définitions des champs de vecteurs appelés {\bf torseurs} ; par exemple, le champs des vitesses d'un solide est un torseur. Dans un repère galiléen, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
\begin{quote}
\it En tout point le torseur dynamique est égal au torseur des actions extérieures.
\end{quote}

Quant au produit scalaire, physiquement il est très utile dans la notion de circulation d'un champ de vecteur le long d'une courbe soit le calcul de l'intégrale curviligne :$$\int_{\Gamma}\vec u(s) \cdot \overrightarrow T(s)ds$$où $s$ est l'abscisse curviligne, et $\overrightarrow T$ est le vecteur unitaire tangent pris dans le sens des paramètres croissants. Ceci intervient, par exemple pour le calcul du travail des actions extérieures sur un point mobile ou autre.

Bruno

P.S. Comme je ne me souviens plus de ton actuel niveau de formation, il est bien possible que tout cela te soit passablement étranger... Désolé si ça l'est de trop :-))

Bruno

Bonjour racinedecheveux.

Je trouve que ta question relève d'une confusion. Le déterminant d'un $n$-vecteur {\bf relativement à une base orientée} $\cal B$ est défini sur un espace de dimension $n$. On parle trop souvent du déterminant parce que l'on n'envisage que le cas de $\R^n$ lequel possède une base orientée canonique et on confond le déterminant avec le trop fameux tableau tirée de la matrice du $n$-vecteur.

Ce déterminant s'appelle en dimension $3$ le {\bf produit mixte}. Mais en toute dimension, pris relativement à une base orthonormée, il permet de définir le volume des simplexes.

Si l'on fixe les $n - 1$ premiers arguments (vecteurs) dans le déterminant, on obtient une forme linéaire $\phi$. Si nous nous situons dans un espace euclidien (et seulement dans ce cas), il existe un unique vecteur $u$ tel que :$$\forall\,x \quad \phi(x) = (u \mid x).$$En dimension $3$ ce vecteur s'appelle le produit vectoriel des deux premiers arguments. Tu vois qu'il est quand même délicat d'assimiler un déterminant (scalaire) et un produit vectoriel (vecteur). En physique ou en mécanique, le produit vectoriel intervient dans la définitions des champs de vecteurs appelés {\bf torseurs} ; par exemple, le champs des vitesses d'un solide est un torseur. Dans un repère galiléen, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
\begin{quote}
\it En tout point le torseur dynamique est égal au torseur des actions extérieures.
\end{quote}

Quant au produit scalaire, physiquement il est très utile dans la notion de circulation d'un champ de vecteur le long d'une courbe soit le calcul de l'intégrale curviligne :$$\int_{\Gamma}\vec u(s) \cdot \overrightarrow T(s)ds$$où $s$ est l'abscisse curviligne, et $\overrightarrow T$ est le vecteur unitaire tangent pris dans le sens des paramètres croissants. Ceci intervient, par exemple pour le calcul du travail des actions extérieures sur un point mobile ou autre.

Bruno

P.S. Comme je ne me souviens plus de ton actuel niveau de formation, il est bien possible que tout cela te soit passablement étranger... Désolé si ça l'est de trop :-))