suite stationnaire

Bonjour!
Dans un exo on me demande de prouver qu'une suite converge si et seulement si elle est stationnaire (c'est pas l'enonce, c'est juste pour poser ma question). Est-ce que quelqu'un pourrait me donner la definition mathematique d'une suite stationnaire? car je l'ignore....
merci d'avance

amicalement :)

Réponses

  • Stationnaire = constante à partir d'un certain rang.
  • Bonjour!
    Je m'disais aussi que ca devait etre tout con.
    Merci quand même.

    amicalement :)
  • bonjour

    une suite stationnaire ne varie pas puisqu'elle reste constante : elle ne peut en conséquence ni converger, ni diverger; par exemple

    la suite récurrente définie par u(n)=(1/2).u(n-1) + 1 avec u(0)=2

    est une suite stationnaire (elle prend toujours la même valeur égale à 2)

    ce qui est vrai c'est qu'une suite qui converge directement (à gauche ou à droite) vers une valeur finie devient stationnaire à la précision donnée des instruments de calcul;

    par exemple la suite de terme u(n)=1 + exp(-n) devient stationnaire très rapidement affichant la valeur 1 si la calculatrice ne comporte qu'une précision qu'au milliardième

    il en est de même d'une suite alternée convergente implosive du type

    u(n)=sin(n)/n²

    par contre une suite alternée convergeant d'une façon explosive n'est jamais stationnaire (elle atteint sa limite pour n infini et ne s'en approche jamais)

    par exemple la suite définie par u(n)= n.(-1)^n
    prend la valeur 0 pour n=0 et reprendra cette valeur nulle à l'infini sans jamais l'approcher (elle n'est jamais stationnaire)

    donc le théorème selon lequel une suite converge si et seulement elle devient stationnaire n'est valable que pour les suites monotones ou alternées implosives

    cordialement
  • euh... je ne suis pas tout a fait d'accord....une suite stationnaire converge bien !! par definition de la convergence, meme la suite $U_n=2$ converge vers 2, si je ne m'abuse....

    ensuite, je ne pense pas qu'on s'interresse ici a des precision d'appareil de mesure. comme ca, je dirais qu'on s'interresse a des suites à valeurs dans $\Z$. or il se trouve qu'une suite qui prend toute ses valeurs dans $\Z$ converge si et seulement si elle est stationnaire ( constante a partir d'un certain rang...)

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    Je viens de m'installer en allemagne, et je patine un peu en algebre. aussi, ne soyez pas surpris si je vous sollicite; ce n'est pas par flemme, mais bien parce que j'aimerais faire mes DM en entier
  • Bonjour,

    Le résultat "une suite converge ssi elle est stationnaire" se démontre en raisonnant par l'absurde et en utilisant la définition formelle de la convergence d'une suite ( Pour tout epsilon, il existe N...etc.)

    Cordialement,

    Clotho.
  • exactement, cela vient du fait que $\Z$ est complet ( toute suite de cauchy de $\Z$ converge dans $\Z$ ) mais "troué" ( on ne peut pas s'approcher indefiniment d'une valeur ).

    formellement, une suite converge si
    $$\forall \epsilon > 0,\ \exists N, \forall m,n\geq N\ |U_n-U_m| < \epsilon$$

    il suffit de prendre $\epsilon=0.5$. comme on est dans $\Z$, si la distance entre 2 point est inferieure a 0.5 ( par exemple ), alors ces points sont confondus.

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    Je viens de m'installer en allemagne, et je patine un peu en algebre. aussi, ne soyez pas surpris si je vous sollicite; ce n'est pas par flemme, mais bien parce que j'aimerais faire mes DM en entier

  • clotho, tu as oublié de préciser : une suite {\bf d'entiers} converge ssi elle est stationnaire (ça n'était pas exactement la question initiale du post : une suite réelle stationnaire est évidemment convergente vers la valeur où elle stationne, mais une suite réelle convergente n'a aucune raison a priori d'être stationnaire (même si certains élèves le croient en regradant leur calculatrice comme l'a dit Jean)).

    jobhertz, la raison pour laquelle une suite d'entiers converge ssi elle est stationnaire est surtout que $\Z$ est un {\bf fermé} de $\R$ ; donc une suite d'entiers qui converge a une limite $\ell $ qui est un entier, et, après, la définition de la limite avec un $\varepsilon $ bien choisi entraîne qu'elle stationne en $\ell $.
    Mais, tu as raison, $\Z$ étant un fermé dans un espace complet ($\R$), il est lui-même complet pour la distance usuelle.
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