inf(A)

Bonjour!
Je n'arrive pas à conclure:
soit $A={ (-1)^n+\frac{1}{1+n} /n\in \N}$
On a clairement $-1< (-1)^n+\frac{1}{1+n}\leq 2$
Donc A admet une borne inferieure et superieure.
La suite est clairement strictement decroissante, donc 2 est le plus grand des majorants et donc $sup(A)=2$.
On pose: $u_{2n+1}= -1+\frac{1}{2(n+1)}$
Donc $lim n\Longrightarrow$ $\infty u_{2n+1} = -1$
Mais $-1 \not\in A$ donc -1 n'est pas la borne inferieure de A.
Quelle est cette borne inferieure?
merci d'avance

amicalement :)

Réponses

  • La borne inférieure d'une partie de $\mathbb{R}$ n'a aucune raison d'appartenir à l'ensemble (par exemple celle de $]0,1[$ est bien 0). Ta démonstration prouve bien -1 est la borne inf.
  • Ne pas confondre Inf et Min (aussi valable pour Sup et Max), le Min (ou le Max) appartient à l'ensemble mais certains ensemble ont un inf sans avoir de min, comme te l'a dit Grandwazoo, ]0 ; 1[ a pour inf 0 pour la relation d'ordre classique, mais n'a pas de min
  • Bonjour!
    Je n'arrive pas à conclure :
    soit $ A=\{ (-1)^n+\frac{1}{1+n} /n\in \mathbb{N} \}$
    On a clairement $ -1< (-1)^n+\frac{1}{1+n}\leq 2$
    Donc $A$ admet une borne inférieure et supérieure.
    La suite est clairement strictement décroissante, donc 2 est le plus grand des majorants et donc $ \sup(A)=2$.
    On pose: $ u_{2n+1}= -1+\frac{1}{2(n+1)}$, donc $ \lim\limits_{ n\to \infty} u_{2n+1} = -1$
    Mais $ -1 \not\in A$ donc $-1$ n'est pas la borne inférieure de $A$.
    Quelle est cette borne inférieure ?

    Merci d'avance
    Amicalement :)
  • "Clairement strictement décroissante" ? Hmm...
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