partie entière

racinedecheveux

Bonjour!
J'ai un corrige d'exo que je ne comprends pas, j'ai l'impression qu'il y a une faute..

Montrer que: $\forall x \in \R, \forall n \in \N*$
$\sum_{k=0}^{n-1} E(x+\frac{k}{n}) = E(nx)$
on pose $m=E(nx)$ et avec une division euclidienne on obtient:
$m=nq+r et 0\leq r

CQFD

Bonjour!
J'ai un corrige d'exo que je ne comprends pas, j'ai l'impression qu'il y a une faute.
Montrer que: $\forall x \in \R, \forall n \in \N*,
\sum_{k=0}^{n-1} E(x+\frac{k}{n}) = E(nx)$
on pose $m=E(nx)$ et avec une division euclidienne on obtient:
$m=nq+r$ et $0\leq r$

racinedecheveux

Bonjour!
J'ai un corrige d'exo que je ne comprends pas, j'ai l'impression qu'il y a une faute..

Montrer que: $\forall x \in \R, \forall n \in \N*$
$\sum_{k=0}^{n-1} E(x+\frac{k}{n}) = E(nx)$
on pose $m=E(nx)$ et avec une division euclidienne on obtient:
$m=nq+r et 0\leq r

racinedecheveux

Bonjour!
Merci CQFD mais même mon code latex n'etait pas passe completement...

amicalement

Alain Debreil

Bonjour !
J'ai un corrigé d'exo que je ne comprends pas, j'ai l'impression qu'il y a une faute...
Montrer que : $$\forall x \in \R,\ \forall n \in \N^*,\ \sum_{k=0}^{n-1} E\left(x+\frac{k}{n}\right) = E(nx)$$ On pose $m=E(nx)$ et avec une division euclidienne on obtient :
$ m=nq+r$ et $0\leq r

Yalcin

En fait tu te trompes au niveau de comptage :

$\displaystyle{\sum\limits_{k = 0}^{n - r - 1} {E\left( {x + \frac{k}{n}} \right)} + \sum\limits_{k = n - r}^{n - 1} {E\left( {x + \frac{k}{n}} \right)} = \left( {\left( {n - r - 1} \right) + 1} \right)q + \left( {\left( {n - 1} \right) - \left( {n - r} \right) + 1} \right)\left( {q + 1} \right) = nq + r = m}$

Cordialement Yalcin

Cordialement Yalcin

racinedecheveux

Bonjour!
Merci Yalcin... Je n'ai pas fait assez attention

Amicalement

P.Fradin3

Il y a une autre démonstration de ce résultat, soit

$$g(x)=\sum_{k=0}^{n-1} {\rm E}(\frac{x+k}n)$$
alors on vérifie facilement que:
1) si $x\in [0;1[$ alors $g(x)=0$.
2) pour tout x, $g(x+1)=g(x)+1$, on en déduit que $g(x+p)=g(x)+p$ pour tout entier $p$ dans $\mathbb{Z}$.
3) d'où $g(x)=g(x-E(x))+E(x)=E(x)$.

Yalcin

celle de Fradin est plus jolie je trouve

P.Fradin3

elle n'est pas de moi.... mais je la trouve jolie aussi!