ton plus joli exercice jamais rencontré

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Réponses

  • Un exo que j'ai particulièrement apprécié :

    Il n'y a pas de sous-groupe de $Gl_n(\C)$ inclus dans la boule de centre $I_n$ et de rayon $\alpha
  • Bonjour Cédric,

    Dans votre exercice, il faudrait préciser la norme dont vous faites usage.

    Voici un exercice d'oral d'agregation que je trouve exquis.

    Quelles sont les fonctions {\it polynomiales} sur $M(n,\Bbb C)$ qui vérifient
    $$ p(PAP^{-1})= p(A) \; \forall A\in M(n,\Bbb C) ,\; P\in GL(n,\Bbb C) \; ?$$
  • Expliquer élémentairement pourquoi la somme de deux nombres algébriques est algébrique.

    C'est un des plus beaux exercices d'algèbre, et qui laisse méditatif sur l'extraordinaire inventivité des algébristes. Pour vous en convaincre, essayez d'expliquer cela à un élève qui arrive en sup, sans avoir regardé auparavant la démonstration dans un bouquin.
  • Oui Ancssieu, il faut utiliser une norme d'algèbre .
  • Autressieux, pour la somme de deux nombres algébriques je connais une manière d'y arriver où on considère un vecteur propre et un polynôme minimal.

    Quelle est ton idée ?
  • Un bel exo de géométrie : Si E est un ensemble inbini de points de $\R^2$ tel que $\forall(A,B)\inE^2,AB\in\N$ alors tous les points de E sont alignés.
  • M M, est-ce que ça reste vrai si on remplace $\N$ par $\alpha \N$ où $\alpha$ est un réel strictement positif fixé ?

    Sylvain
  • Ja pense que oui, il suffit de considérer l'image de E par une homothétie de rapport $\alpha$ ...
  • bonjour,
    dans le vieux "que sais-je ?" "La géométrie contemporaine" de André Delachet, c'est donné comme application immédiate du théorème de Bézout (l'intersection de deux courbes algébriques de degré m et n se coupent en m.n points) : Soient A, B deux points de E. Tout point P de E vérifiant |PA-PB| =k <= AB, il appartient à une famille d'hperboles de foyers A, B. Il ne peut donc y avoir qu'un nombre fini de points de E en dehors de AB (ils appartiennent également à une famille finie d'hyperboles de foyers A, C avec C en dehors de AB). Il y a donc un nombre infini de points de E sur AB et on voit alors qu'il ne peut y en avoir en dehors (inégalité triangulaire).
  • J'aime aussi cette propriété (dont on peut demander la preuve dès la seconde).
    Soit la fonction $f:x\mapsto x^{2}$ et $\mathcal{C}_{f}$ sa représentation graphique dans un repère $(O,I,J)$ du plan $\mathcal{P}$.

    On note $E$ l'ensemble des points du plan ayant une abscisse entière inférieure à 2, et $F$ l'ensemble des points du plan ayant une abscisse entière supérieure à 2.
    Alors si $\mathcal{E}$ désigne l'ensemble des ordonnées des points de $\left\{O,I\right\} \cup ((OJ)\cap \bigcup_{(M,N)\in(E\cap\mathcal{C}_{f})\times (F\cap\mathcal{C}_{f})}) (MN)$, alors $\Bbb{N}\setminus \mathcal{E}=\Bbb{P}$ où $\Bbb{P}$ désigne l'ensemble des nombres premiers positifs.
  • J'aime aussi cette propriété (dont on peut demander la preuve dès la seconde).
    Soit la fonction $f:x\mapsto x^{2}$ et $\mathcal{C}_{f}$ sa représentation graphique dans un repère $(O,I,J)$ du plan $\mathcal{P}$.

    On note $E$ l'ensemble des points du plan ayant une abscisse entière inférieure à 2, et $F$ l'ensemble des points du plan ayant une abscisse entière supérieure à 2.
    Alors si $\mathcal{E}$ désigne l'ensemble des ordonnées des points de $\left\{O,J\right\} \cup ((OJ)\cap \bigcup_{(M,N)\in(E\cap\mathcal{C}_{f})\times (F\cap\mathcal{C}_{f})}) (MN)$, alors $\Bbb{N}\setminus \mathcal{E}=\Bbb{P}$ où $\Bbb{P}$ désigne l'ensemble des nombres premiers positifs.
  • Il faut lire : $E$ est l'ensemble des points ayant une abscisse entière inférieure à $-2$... décidemment, j'ai du mal à m'exprimer ! (tant pis pour la parenthèse mal placée... flemme !)
  • bonjour domi

    oui, tout point constructible à la règle et au compas est constructible avec
    le compas seul. c'est le théorème de Mohr-Mascheroni.

    application : pb de Napoléon
    construire seulement avec le compas le centre d'un cercle donné (bien sûr,le centre n'est pas connu)
  • La preuve que la somme des inverses des nombres premiers diverge (due à Euler).
  • et l'infinité des nombres premiers... ? !
  • Salut,
    Pour moi, niveau première fac, j'aime beaucoup les résultat généraux tels que:
    1)
    Pour $a>0$ et $m,n\in\N^*$,($x=a.tg(t)$):
    $$\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^{m/n}}=a^{1-2m/n}\int cos^{2m/n-2}(t)dt$$
    Ex:
    $$\int\frac{dx}{(1+x^2)^{101/2}}=\int cos^{99}(t)dt$$
    Pour se punir, on la linérise!
    2)
    pour $a>1$, $r,p>0$ et $q,s\geq 0$:
    $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(rk)a^{pk+q}}=\frac{1}{ra^q}ln(\frac{a^p}{a^p-1})$$
    Ex:
    $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k2^k}=ln(2)$$
    Mais malheureusement, je m'arrête complétement lorsque le $s>0$:
    $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(rk+s)a^{pk+q}}=!?$$

    amicalement

    med
  • Deux petits exercices de géométrie niveau 5ème et sans commentaire . Comment ne pas aimer la géométrie après cela ?

    Domi4344
    4345
  • Si $f$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
    La restriction de $f$ à un certain ensemble dense est continue.

    \'Eric
  • Pour toute suite $(a_n)_{n \in \N}$ de nombres réels, il existe une fonction $f : \R \rightarrow \R$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ vérifiant : pour tout $n \in \N$, on a $f^{(n)}(0) = a_n$.

    (Enfin, quelques indications sont nécessaires pour résoudre cet &quotexercice")
  • Pour toute suite $(a_n)_{n \in \N}$ de nombres réels, il existe une fonction $f : \R \rightarrow \R$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ vérifiant : pour tout $n \in \N$, on a $f^{(n)}(0) = a_n$.

    (Enfin, quelques indications sont nécessaires pour résoudre cet "exercice")
  • pour chello,
    c'est le joli théorème de Borel
  • désolé
    je reprend

    oit G un groupe fini non commutatif

    On pose $C = \#{x,y|xy=yx}$ et $N = \#G\times G$

    Montrer que $C/N< 5/8$...

    bref $C$ est la cardinal de l'ensembles des couples qui commutent et N le cardinal de l'ensemble de tous les couples
  • soit $U$ un ensemble mesurable dans $\R^n$ de mesure de lebesgue $m>1$
    montrer que l'ensemble différence $\{x-y, x,y\in U\}$ contient un point à coordonnées entières
  • Désolé, je reprends

    Soit G un groupe fini non commutatif

    On pose $ C = #\{(x,y)\mid xy=yx\}$ et $ N = # G\times G$

    Montrer que $ C/N< 5/8$...

    Bref $ C$ est la cardinal de l'ensembles des couples qui commutent et $N$ le cardinal de l'ensemble de tous les couples
  • Bonjour,

    Pour les nouveaux venus, afin de compléter la collection,
    Amicalement.
  • J'aime les preuves sans texte de Domi, même que je m'en sers en classe.
    Vive les deux bouquins de Nelsen.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • J'aime beaucoup cet exercice (source IREM)
    Trouver les nombres de quatre chiffres $abcd$ tels que $4\times abcd = dcba$.
    Une de mes classes de 6e en est venu à bout.

    A l'opposé cet exercice colossal:
    On considère un ensemble $E$ à $n$ éléments, $a$ un entier et $E_1, E_2, \ldots , E_p$ des parties distinctes de $E$ telles que $E_i\cap E_j$ a $a$ éléments.
    Démontrer que $p \leq n$.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • On munit l'ensemble $S$ des suites strictement croissantes d'entiers $\in \N$ de la topologie induite par la topologie produit sur $\N ^{\N}$

    Soit $U\subseteq S$ un ouvert pour cette topologie$^{(1)}$

    Prouver qu'il existe une partie infinie de $A\subseteq \N$ et un élément X de $\{ A;S-A \}$ tels que:

    Pour toute suite $u\in S$ telle que $\forall n\in \N\ \ u_n\in A$:

    $u\in X$

    $^{(1)}$ pour les gens qui n'aiment pas les histoires de topologie, $U$ a simplement la propriété suivante:

    pour tout $u\in U$ il existe $n\in \N$ tel que pour toute suite $v\in S$, si $v_0=u_0$ et $v_1=u_1$ et.. et $v_n=u_n$ alors $v\in U$
  • j'avais beaucoup aime cet exo:

    un berger possede $101$ vaches. A chaque fois qu'il choisit une vache, il peut regrouper les $100$ vaches restantes en deux groupes de $50$ vaches, le poids total de chaque groupe etant egal. Toutes le vache ont-elles le meme poids ?
  • J'ai envie de dire non ce n'est pas possible,par exemple si on renumérote les 101 vaches, enlevons la vache n°101.
    Il existe une combinaison de 50 parmi 100 qui contient les 50 vaches les plus lourdes parmi les 100 restantes, et les 50 autres sont les plus légères donc comme le poids est le même des deux coté par hypothèse, toutes les 100 vaches doivent faire le même poids. Maintenant on remplace la vache 101 par la 100, et qu'on recommence le même raisonnement on voit que la n°101 a le même poids que les autres.

    Est-ce correct ?
  • ev a écrit:
    J'aime beaucoup cet exercice (source IREM) Trouver les nombres de quatre chiffres abcd tels que 4 abcd = dcba. Une de mes classes de 6e en est venu à bout.

    Hu hu, le genre d'exercice réglé en un coup de script dans son langage préféré (Scilab pour moi).
    // 4 abcd=dcba
    
    e=(1:9999);
    
    d=modulo(e,10);
    c=modulo(e,100)-d;
    b=modulo(e,1000)-d-c;
    a=modulo(e,10000)-d-c-b;
    
    f=4*e;
    
    c=c/10;
    b=b/100;
    a=a/1000;
    
    g=d*1000+c*100+b*10+a;
    
    h=find(f==g);
    

    Et ça donne h=[2178].
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • TheBridge ecrivait:
    > J'ai envie de dire non ce n'est pas possible,par
    > exemple si on renumérote les 101 vaches, enlevons
    > la vache n°101.
    > Il existe une combinaison de 50 parmi 100 qui
    > contient les 50 vaches les plus lourdes parmi les
    > 100 restantes, et les 50 autres sont les plus
    > légères donc comme le poids est le même des deux
    > coté par hypothèse, toutes les 100 vaches doivent
    > faire le même poids. Maintenant on remplace la
    > vache 101 par la 100, et qu'on recommence le même
    > raisonnement on voit que la n°101 a le même poids
    > que les autres.
    >
    je ne comprend pas tres bien. Le berger choisit la 101ieme. Ensuite on sait juste qu'il existe une partition (et non toute partition) des 100 vaches qui restent en 2 groupes tels que blabla. Comment en deduis-tu que toutes les 100 vaches ont meme poids? je ne comprends pas?
  • Ah ok 8-)
    J'ai pris un "il existe" pour un "quel que soit" aux temps pour moi
  • Bonjour,

    Une extension de l'exercice d'ev corrigé par nicolas sous forme de cryptarithmes. (eh oui Nicolas, tu peux résoudre encore plus vite cet exercice à l'aide des solveurs de cryptarithmes que tu avais proposés dans ce lien ;) )

    Amicalement.
  • Le 2e d'ev est aussi mon préféré.
  • Toute matrice à diagonale strictement dominante est inversible.

    C'est un joli exercice, assez "simple" et qui peut servir dans d'autres exercices à des moments vraiment inattendus.

    (La page Wikipedia correspondante est assez bien faite:
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_à_diagonale_dominante).
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