ton plus joli exercice jamais rencontré

bs1

bonjour sasha
je connais les contre-exemples avec les fonctions de du Bois-Reymond et
celle de Weierstrass;
une preuve utilisant le théorème de Banach-Steinhaus,
la tienne est elle différente de cette dernière?
si oui, merci pour les références ; pour la leçon sur les séries de Fourier ça peut être interessant

bs1

bonjour samok

sur la piste du bel exo de Legendre (objet du 1er courriel)

soit n=a(k)+a(k-1)+ ... a(0) ; ( )signifie indice, en base 2
donc n=a(0)+2.a(1)+2^2.a(2)+.......2^k.a(k) #

maintenant tu sais ou tu redémontres que si n=2^h.m avec m impair
alors h=E(n/2)+E(n/2^2)+E(n/2^3)+...
cette somme est finie

question subsidiaire :combien de zéros à la fin de n!

à partir de #, tu calcules pour 0<r<=k : E(n/2^r)

tu additionnes pour r allant de 1 à k, et tu devrais trouver h=n-(a(0)+a(1)+...+a(k)) cad h=n-g
c'est bon?

segafreddy

L'intersection de l'ensemble des carrés de $N$ avec l'ensemble des sommes des carrés des premiers nombres consécutifs est réduit à dexu éléments : $1$ et $4900$ ! ! ! ! !

C'est le plus bel exo du monde

bs1

bonjour borde,
je possède votre livre,j'ai vérifié l'exo4.18 et le 4.31 sur un théorème d'Erdos. Il est rempli de jolis exercices comme je les aime; je possède aussi les autres livres que vous avez écrit, une véritable bible.
concernant les fonctions multiplicatives , vous mentionnez: l'indicatrice d'Euler, la fonction de Möbius,la fonction somme des diviseurs de n,
la fonction nombre des diviseurs de n, puis ce sont des ....
que se passe-t-il derriere ces ...? merci de citer d'autres fonctions multiplicatives

borde

Salut bs,

Excuse-moi mais je ne comprends pas bien ta question. Peux-tu m'indiquer la page du livre à laquelle tu te réfères ? Merci.

Sinon, parmi d'autres fonctions multiplicatives que je n'ai pas mis, tu as aussi les fonctions $n \mapsto t^{\omega(n)}$ (avec $t \in \R_{+}$) qui sont fortement multiplicative, la fonction de Liouville $n \mapsto \lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$ qui est complètement multiplicative, la fonction de Dedekind $\displaystyle {\Psi(n) = n \prod_{p \mid n} \left ( 1 + \frac {1}{p} \right )}$ (remarquer la similarité avec $\varphi$), les généralisations de $\varphi$, etc.

Puisque tu mentionnes l'exo 4.31, une coquille (un copié-collé maladroit) s'est glissée dans le corrigé page 201 : dans la seconde ligne de calcul, il faut lire $\displaystyle {O \left ( x \sum_{d > x, \, d \, 2-plein} \frac {1}{d} \right )}$ (au lieu de $d \leqslant x$) , mais je pense que chacun aura rectifié de lui-même, vu les calculs précédents.

Si d'autres intervenants repèrent d'autres coquilles, qu'ils n'hésitent pas à m'en faire part. Je n'en ai pas vu d'autres (à part dans le texte en quatrième de couverture, mais elle ne vient pas de moi...), mais on ne sait jamais.

Borde.

borde

Salut bs,\\
\\
Excuse-moi mais je ne comprends pas bien ta question. Peux-tu m'indiquer la page du livre à laquelle tu te réfères ? Merci.


Sinon, parmi d'autres fonctions multiplicatives que je n'ai pas mis, tu as aussi les fonctions $n \mapsto t^{\omega(n)}$ (avec $t \in \R_{+}$) qui sont fortement multiplicatives, la fonction de Liouville $n \mapsto \lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$ qui est complètement multiplicative, la fonction de Dedekind $\displaystyle {\Psi(n) = n \prod_{p \mid n} \left ( 1 + \frac {1}{p} \right )}$ (remarquer la similarité avec $\varphi$), les généralisations de $\varphi$, etc.

Puisque tu mentionnes l'exo 4.18, une coquille (un copié-collé maladroit) s'est glissée dans le corrigé page 201 : dans la seconde ligne de calcul, il faut lire $\displaystyle {O \left ( x \sum_{d > x, \, d \, 2-plein} \frac {1}{d} \right )}$ (au lieu de $d \leqslant x$) , mais je pense que chacun aura rectifié de lui-même, vu les calculs précédents.

Si d'autres intervenants repèrent d'autres coquilles, qu'ils n'hésitent pas à m'en faire part. Je n'en ai pas vu d'autres (à part dans le texte en quatrième de couverture, mais elle ne vient pas de moi...), mais on ne sait jamais.

Borde (corrections effectuées. Doublon à virer. Merci).

Gecko

"Tout hyperplan de matrices contient une base formée de matrices inversibles..."

c'est vrai cette histoire?

reisacher raymond

Bonsoir.
Je suis comme Gecko, j'aimerais demander à gamdegam comment il prouve que tout hyperplan de $M_n(R)$ contient une base de matrices inversibles, ou simplement nous indiquer une référence. Je présume qu'il utilise le fait que toute forme linéaire est du type : X ---> AX.
En tout cas je suis sûr de mon résultat : tout hyperplan contient une matrice inversible.
Cordialement RR.

ryo0

Je repond a la question initiale
En arithmetique j'aime bien le resultat suivant : pour tout $n \geq 2$, il existe un nombre premier compris entre $n$ et $2n$. C'est pas dur a montrer avec les inegalites de Tchebychev mais le resultat me parait pas evident a priori
Toujours en arithmetique j'aime bien la preuve de l'estimation de $\sum_{p \leq x}^{} \frac{1}{p}$

En algebre c'est la preuve du theoreme de Krull par le lemme de Zorn: tout ideal non trivial d'un anneau est inclu dans un ideal maximal ou encore la preuve de la densite des matrices invesibles complexes dans l'ensembles des matrices

En analyse le calcul de $\sum_{n \geq 1}^{} \frac{1}{n^2}$ ou pas mal de resultats d'analyse complexe qui me paraissent toujours surprenant

La demo de l'identite d'Euler grace a des probas me parait sympa aussi

Judissieu

Pour Gecko et Raymond:

Votre hyperplan contient des matrices inversibles (au moins une). Celles-ci y forment donc un ouvert non vide...


Bonsoir.

Pilz0

La densité des matrices inversibles complexes, je ne trouve pas cela transcendant:

on considère la suite $A-\lambda_n I$ comme $A$ a un nombre fini de valeurs propre on a le résultat...


mais tu parlais peut être d'une autre méthode plus joli

malissieu

Pilz. No comment. :-) (-:

Par contre: si deux hyperplans matriciels contiennent chacun une base formée de matrices nilpotentes, ils sont égaux.

Gecko

j'ignorai qu'un ouvert pouvait etre contenu dans un hyperplan!!

prétenssieu

Gecko. No comment. (-: :-)


Montrer qu'il existe dans l'espace vectoriel des matrices symétriques une base formée de matrices inversibles. Mais que c'est une fois sur deux seulement le cas pour les matrices antisymétriques.

reisacher raymond

Merci Judissieux.
Cordialement RR.

Pilz0

Pour Gecko,

Il existe une matrice inversible dans l' hyperplan,$H$, notons là $A$ autour de $A$ il y a un ouvert ne contenant que des matrices inversibles notons le $O$ alors $O \cap H$ est un ouvert de l' hyperplan pour la topologie induite d' où le résultat.

Gecko

gamdegam
Judissieu
prétenssieu

Je ne comprends vraiment pas ce résultat expliques(ez??) le moi mieux
je suis perdu par cette chose que je croyais vraie:
un hyperplan c'est de dimension n-1
un ouvert ca engendre l'espace donc ca engendre un espace de dimension n
c'est la que je bloque.
Ou est ce que je fais une erreur.
(et puis si je dis des bétises je prefere avoir la correction adéquate...ca m'echappe réellement)

Gecko

ok c'est un ouvert de hyperplan mais dans ce ca ca ne fait que montrer que l'on a une base de cet hyperplan formé de matrices inversibles
mais pas tout l'espace.

ryo0

Pour Pilz : la methode que je connais c'est en utilisant le fait que toute matrice complexe est semblable a une matrice triangulaire. Ensuite on change les termes ou il y a un zero sur la diagonale par $\frac{1}{m}$, on recupere donc une suite de matrices inversibles. En mulipliant par $P$ a gauche et $P^{-1}$ a droite et en faisant tendre $m$ vers $\infty$, on atteint notre matrice de depart.
Rien de bien transcendant dans la demo effectivement mais c'est plus le resultat qui "m'amuse" et le fait que la preuve soit pas tres compliquee
En relisant ce que tu as marque je m'apercois que c'est en fait la meme chose

Leau gicle

Soit n+1 sous-ensembles de {1,2,...,n} $P_1,....,P_{n+1}$

Montrer qu'il existe I et J disjoints tels que l'union des P_i indexés par I soit égale à l'union des P_j indexés par J.

C'est à mon sens un tres bel exo car il est compréhensible par n'importe qui.

UNe de ses résolution (la seule que je connais d'ailleurs) est très élégante. Elle utilise un codage par des matrices à coeff dans $\Q$. On utilise alors le théorème du rang pour trouver une combinaison linéaire nulle. De la on obtient une inégalité entre 2 combinaisons linéaires et finalement on retrouve les unions de départ.

t-mouss

corentin0

le trou dans le cul

Gecko

Je suis passé à coté...completement
désolé bonne nuit.

OuiMeussieu

"Tout hyperplan de matrices contient une base formée de matrices inversibles..."

c'est vrai cette histoire?

****************************************
Oui si vous remplacez "contient" par "possède".

Non, si vous ajoutez à la suite du mot "base" le génétif "de $M(n,C)$".

Je comprends mieux vos angoisses...
Pardon.

***************************************

On montre en fait qu'"un sous-espace de $M(n,C)$ de dimension $n(n-1)+1$ possède toujours une base formée de matrices inversibles.

Asstussieu

Voici un très joli exercice, et d'un type peu commun sur math.net


On se donne trois matrices $X$, $H$ et $Y$.

On suppose que
$$HX-XH=H $$
$$ HY-YH=-Y$$
$$ XY-YX=H$$

Alors, $X$ et $Y$ sont nilpotentes et {\it semblables}. Quant à $H$, elle est diagonalisable.

Une matrice telle que $H$ est appelée une symétrisante pour le couple de matrices nilpotentes $X$ et $Y$.

bs1

pour pretenssieu
a quoi correspondent ces 2 cas pour les matrices antisymétriques ?
tes preuves sont-elles non constructives (par densité ou autre) ou peux-tu
en exhiber?

ex:on démontre par densité qu'il existe dans Mn(IK) une base formée de
matrices inversibles; c'est un peu plus délicat d'en exhiber une quand IK
est un cops commutatif infini.
merci

bs1

pas beaucoup de proba , pourtant
je trouve joli:

la proba pour que 2 nbres choisis aléatoirement soient premiers entre eux est 6/(pi)^2

et aussi le pb de l'aiguille de Buffon:
un parquet est constitué de lattes parallèles de largeur d, une aiguille de
longueur l<=d tombe sur ce parquet.la proba pour que cette aiguille chevauche deux lattes est :2l/(pi)d . ( n'oublions pas que Buffon était plutôt naturaliste)

Johann5

Quelques exos qui m'ont marqué en prépa (d'autant que j'avais trouvé une solution ;-) )

*sous-groupes additifs de R (je ne suis pas le seul apparemment)

* dans un compact métrique, une suite ayant un nombre fini de valeurs d'adhérence converge (très visuel celui là).

* dans un compact, une fonction rétrecissant strictement les distances : d(f(x),f(y))<d(x,y) si x diff de y, admet un unique point fixe et toute suite du type u(n+1)=f(u(n)) converge vers ce point fixe.

* u(n+1)=u(n)+1/u(n)² : trouver un équivalent simple (j'avais pensé à l'équadiff f'=1/f², ce qui m'a fait mettre au cube (->Cesaro), j'ai appris qu'il y avait plus simple après).

J'en oublie surement...

Jujussieu

La preuvre de la loi du tout ou rien en proba,
en considérant une martingale.

corentin0

Si quelqu'un pouvait effacer mon dernier message, je ne devrais pas laisser l'ordinateur allumé quand il y a mon petit frère à proximité.
(19 ans quand même !)

[Voilà qui est fait. (J'avais hésité à le modérer !) AD]

milkman

&quotPour Pretenssieu
À quoi correspondent ces 2 cas pour les matrices antisymétriques ?
Tes preuves sont-elles non constructives (par densité ou autre) ou peux-tu
en exhiber?"

Bonjour,


C'EST EN RAPPORT AVEC LA DIMENSION... J'imagine non constructives.

(Ds le message de Auteurs: Asstussieu
Date: 04-24-06 08:53

Il faudrait corriger la première hypothèse comme suit:
$HX-XH=X$ !)

Je joins une question: quels sont les couples de matrices nilpotentes (semblables) qui possèdent une symétrisante ?

jaybe

Un exercice que j'aime bien : soit $E$ un ensemble fini de points dans un plan Euclidien. On suppose que lorsque l'on prend deux points distincts, il en existe un troisième tel que les trois points soient alignés. Montrer que tous les points de $E$ sont alignés.

Nouveau_ici

La construction d'un sous-ensemble de $\R$ non mesurable par rapport a la mesure de Lebesgue.

Domi4

J'ai séché pendant des mois sur l'exercice de jaybe avec les points alignés , pourtant la solution est extrèmement simple . Plus généralement , il me semble que les plus beaux exercices ( en tout cas ceux qui laissent des traces ) sont ceux qui vous ont occupé longtemps pour finalement se résoudre de façon élémentaire .

Domi .

milkman

Mon cher AD,
Bonjour,

Je n'exprimais qu'un souhait, comme le soulignait bien l'usage du conditionnel dans "Il faudrait".

Il me semble qu'une erreur de frappe s'est bien glissée dans l'énoncé d'Astussieu, qui tarde à se manifester. Il n'est pas nécessaire pour autant de la corriger puisqu'on a mentionné sa présence.

Bien cordialement

Gecko

Bonjour

Pour OuiMeussieu
C'est vrai que je n'aurais pas dû écrire les choses comme ça
et je m'en excuse (ça m'apprendra l'humilité ...)

Bref, pour revenir sur le fil initial les exercices que j'aime bien :
- Montrer qu'une fonction convexe est continue sur l'intérieur de son domaine de définition.
- Un peu dans la même veine que l'exercice de Jaybe :
Soit une famille finie de segments parallèles telles que 3 d'entre eux admettent une sécante commune alors il existe une sécante commune à tous les segments.
- Le théorème de Krein-Milman (un compact convexe de E est l'enveloppe convexe de ses point extrémaux si le dual sépare les points de E)

jaybe

Je suis bien d'accord avec toi Domi. Un énoncé simple, des fausses pistes et à la fin on se donne des claques pour ne pas y avoir pensé plus tôt, ça c'est un bel exercice !

milkman

Voici un joili exercice.

Chercher les endomorphismes de $C^n$ dont la partie semi-simple et la partie nilpotente (dans la décomposition de Dunford) ont même image.

le poulpe

Soit G un groupe fini non commutatif

On pose C = #{(x,y)|xy=yx} et N = #{(x,y)}

Montrer que C/N< 5/8...


[Comme indiqué plus bas: AD]

C est le cardinal de l'ensembles des couples qui commutent et N le cardinal de l'ensemble de tous les couples.

Rémi Chautard

J'imagine que #E désigne le cardinal de E.

Rémi Chautard

Cependant avec ces notations, #{x,y} me semble valoir 2 !!

Peut-être faut-il comprendre $N=$# et $C=$#Z() ou $Z(E)$ désigne le centre de $E$, et désigne le sous-groupe de $G$ engendré par une partie non vide $E$ de $G$.

Dans l'énoncé, on ne voit pas le rapport avec $G$. Je présume que $x,y\in G$.

Dites donc, Le poulpe, pourriez vous écrire un énoncé pour intelligible ? ;-)

Alain Debreil

Bonsoir

D'accord mais alors #{x,y} = 2 et je doute que ce soit ce que le Poulpe voulait dire !
Et si on continue, quel est l'ensemble décrit par {x,y|xy=yx} ?
Est-ce le centre de G ?
Bref je ne comprends pas le formalisme utilisé, donc je demande des précisions.

Alain

milkman

Le commutateur $xyx^-1y^-1$ n'est-il pas noté usuellement $\{x,y\}$ ?


Bonjour.

Voici un bel exercice.

Montrer que le groupe $\Bbb Z/49\Bbb Z$ n'est le groupe des automorphismes d'aucun groupe

Vincent

Pour bs,

Je dirai l'exercice 4.16 p.210 intitulé "un critère de nilpotence", on utilise vraiment toute l'algèbre linéaire du programme.

Vincent

bs1

merci vincent
je n'ai pas encore fait celui-la dans cette section. j'ai beaucoup aimé le 4.8
avec les injections de Frobénius; complété avec le 6.14 du FGN de chez
Cassini (décomposition de Fitting),ca fait aussi un très joli exo bien complet

bs1

bonjour,
il me semble que plus de 80% des exercices proposés concernent l'algèbre
l'analyse serait-elle moins propice aux " beaux exos" ?

Gecko

bonjour

un autre exercice:
soit $T=\{f \in C^1 ([0,1])| f(0)=0 , f(1)=1\}$
monter que $ \inf_{f \in T} \int_{0}^{1} |f(x)-f'(x)|dx=\frac{1}{e} $

milkman

chercher les applications dérivables de $[0,1]$ ds lui-même et telles que $f\circ f=f$.

Domi4

Deux autres types d’exercices que je trouve particulièrement beaux .

- Ceux qui déstabilisent votre entendement :

Le problème des grains de blé sur un échiquier .
La feuille de papier que l’on plie vingt fois .
Les cordes qui entourent une pièce de monnaie ou la terre auxquelles on ajoute un mètre .
Des figures de surface finie et de périmètre infini .

- Ceux qui utilisent des approches complètement originales et surprenantes d’efficacité :

La démonstration de Cantor pour montrer que E n’est pas isomorphe à P(E) .
La méthode de descente infinie pour les équations Diophantienne .
La transformation d’Abel pour les séries .
Le calcul d’intégrales par la méthode des résidus .

En fait l’ensemble des mathématiques est un trésor inépuisable de trouvailles et d’ingéniosité comment choisir le plus beau dans tout cela : quelle est la plus grande merveille du Louvre ?

Quand même un parmi d’autres :

Les points du plan constructibles à la règle et au compas sont constructibles au compas seul .

Domi

samok0

Bonjour bs

merci pour la piste, compris

aimablement,
S

Sasha1

Pour BS

Je ne me souviens pas de la preuve, mais je me souvient que Banach-Steinhauss trivialise l'exercice. Je pense que tu peux le trouver dans le Brezis, vu que c'est de ce livre que mon prof d'analyse fonctionnelle s'inspirait.

Cordialement