arithmétique

Dème0

Bonjour.
-Existe -t-il un pôlynome p(x) à coefficients entiers premiers entre eux , à constante non nulle, pour lequel p(x) n'est jamais premier pour tout x entier?(si oui peut-on m'en exhiber un s.v.p ?)

-Pour tout pôlynome p(x) à coefficients entiers premiers entre eux , à constante non nulle, peut-on exhiber un entier naturel n supérieur à tout entier naturel k donné d'avance tel qu'on soit sûr que p(n) est non premier ou que si p(n) est premier alors il existe un entier c différent de n tel que p(n)=p(c)? (des réponses importantes pour mes travaux, merci de votre contribution).

-(un peu d'analyse). Peut-on calculer une primitive de 1/(racinede(sinx))?
Merci et à bientôt.

GERARD5

1) P(x) = 4
P(x)=4x
P(x)=4 x²

Mais je suis peut-être simpliste ?

Volny DE PASCALE0

pour le deuxième cas, si pour tout n supérieur à N p(n) non premier implique p(n)=p(c) plusieur cas se présentent

déjà pour P(x) = x² on a : pour tout n non nul, il existe c différent de n tel que c² = n² (c'est -n)

Si on veut que c soit compris entre 0 et N, on en arrive à ce que le polynôme P ne prend qu'un nombre fini de valeurs non premières (sinon il y a une infinité de solutions à P(n) = P(c) pour au moins un c) et donc il y a un N' supérieur à N, tel que pour tout n>N' P(n) soit premier (c'est le max des n tels que P(n) ne soit pas premier ).

soit alors m > N'

si A est le coefficient constant du polynôme, A non nul, que dire de P(mA) ?

Et si A est nul que dire de P(2m)

(On pouvait commencer par là !)

Amicalement
Volny

Pilz0

Pas de primitive avec des fonctions usuelles pour $\frac{1}{\sqrt{sin(x)}}$ mais je suis sûr que certains intervenants te renseigneront sur le petit nom de cette intégrale ( logarithme intégral, Erf,Ei...?)

Sigma

Pour GERARD, l'énoncé stipule "à constante non nulle", exit les deux derniers exemples que vous donnez. Mais le premier reste juste.

Dème0

Bonjour. Je reprécise ma question:
Existe -t-il un pôlynome p(x) à coefficients entiers premiers entre eux , pour lequel p(x) n'est jamais premier pour tout x entier et p(x) non nul pour tout x?(si oui peut-on m'en exhiber un s.v.p ?).

En résumé je cherche p(x) tel que:
-coefficients de p(x) premier entre eux
-p(x) non nul pour tout x (c-à-d que p(x) est sans zéro)
-p(x) premier pour tout x
Merci.

GERARD5

Mon premier exemple tient toujours.
Cordialement

Dème0

pgcd de (4 , 4 ) = pgcd (4,0,0,0,....)=4. Donc les coefficients de ton polynöme constant ne sont pas premiers entre eux. 0 est un coefficient e tout polynôme.
Je voudrais vous préciser que p(x) est différent de 1 et ce-1

Dème0

On est d'accord Gérard sur le fait que pgcd de (4 , 4 ) = pgcd (4,0,0,0,....)=4. Donc les coefficients du polynme p(x)=4 ne sont pas premiers entre eux;ce qui est contraire au prremier critère de ce polynomôme. 0 est un coefficient tout polynôme, donc si ce dernier est constant et différent de 1 et de -1 alors il est "hors jeu".
Je voudrais préciser à tous ceux qui s'intéressent à ce problème que p(x) est différent de 1 et ce-1.

Volny DE PASCALE0

Je pensais que les interventions précédentes avaient été assez explicites.

Puisque le coefficient constant du polynôme n'est pas nul (appelons le A)
que dire de P(nA) si P(n) est premier ?

Amicalement
Volny

Volny DE PASCALE0

Plutôt que d'essayer d'expliquer à GERARD qu'il a tort (ce sera difficile : il a raison) pourquoi ne pas simplement dire :
"Précisons que le polynôme n'est pas constant" ?

C'est la première fois que j'entend dire que 4 n'est pas premier entre lui, c'est un concept interessant, mais auquel j'ai du mal à adhérer (je suis membre de la société pour la protection des lépidoptères, et en tant que tel je réprouve les actes contre nature comis à leur encontre).

Amicalement
Volny

Dème0

D'accord Vlony de dire que p(x) est non constant mais celà restreindrait ma problématique;par ailleurs je n'ai pas voulu expliquer à Gérard qu'il tord mais plutôt simplement lui dire(et à tous ceux qui s'intéressent au problème) que puisque p(x)=4(proposé donc par Gérard )peut s'écrire sous la forme:p(x)=0.x+4, alors on peut dire (je pense ?) que ce polynôme a pour cefficients 0et4 dont le plus grand diviseur commun est bien 4; donc ces coefficients ne sont pas premiers entre eux, ce qui est contraire à un des critères du p(x) recherché.
Si nous tenons compte de la proposition de Vlony , notre P(x) (s'ilexiste) devra alors vérifier:
-P(x) non constant et à coefficients premieux entre eux
-P(x) n'a aucune racine entière
-P(x) non premier pour tout entier x.
je rapelle que p(x) êst(s'il existe) un polynôme à coefficients entiers relatifs et qu'on ne s'interesse qu'aux x qui sont entiers relatifs.
cordialement

de passage

p(x)=4+3x+5x² doit marcher non?
il est a coefficients premiers entre eux.
son coefficient constant est non nul.
p(x) n'est jamais premier pour tout x (3x et 5x² ont la meme parité donc 3x+5x² est pair pour tout x donc p(x) est divisible par 2 pour tout x).

Dème0

Super pour le degré 2! génial! vous avez joué sur la parité de x? Avez-vous une méthode générale pour tout degré n donné d'avance ? Par exemple pour 3, 4, 5 ou 6 pouvez-vous trouver un polynome de degré 3,4,5, 6 etc...vérifiant les proprités que que nous avoons citées?
Encore une fois bravo pur le degré 2.
P.SPour un degré donné sont-ils en nombre fini?(excusez- moi d'être trop gourmand!)

de passage

pour le degré n je crois qu'il faut prendre n pair et associer au poluynome les nombre premiers consecutifs (comme coefficients )
par exemple en peux considerer p(x)=somme(a_n*x^n)+ 4 (ou +un nombre pair >=4 pour 2 ca marche pas car 2 est premier ) ou a_n est le (n+1)-ieme nombre premier ( l'ordre n'importe pas bien entendu).
dans ce cas on aura un nombre pair de nombres impairs donc le polynome p(x) est divisible par 2.
pour n impair .............

de passage

pour un degré (pair) donné , le nombre de polynomes verifiants ces proprietes est infini (resulte de l'infinitude des nombres premiers).

Dème0

Preuve s.vp.

de passage

soit le polynome p(x)=(4,3,5,7,11,13,................)=4+3x+5x²+....... (de degre pair n=2k) alors 3x+5x²+7x^3+.........+a*x^(2k) est un entier pair pour tout x (avec "a" un nombre premier different des autres coefficients).
en effet si x est pair alors : 3x+5x²+7x^3+.........+a*x^(2k) est pair donc p est divisible par 2 et si x est impair alors chaque terme de 3x+5x²+7x^3+.........+a*x^(2k) est impair et on a un nombre pair (2k) de termes donc leur somme et bien paire d'ou p divisible par 2.

(on peut prendre p(x)=(8,11,31,5,7,....) et pour le terme constant il faut prendre une puissance de 2 ou un autre entier pair qui n'est divisible par aucun des autres coefficients).
pour le cas n impair :
p(x)=(4,3,5,7,11,13,17,19,......................) si x est pair
p(x)=(3,5,7,11,13,17,19,................) si x est impair
PS: toutes ces conditions sont suffisantes mais pas necessaires.

de passage

soit le polynome p(x)=(4,3,5,7,11,13,................)=4+3x+5x²+....... (de degre pair n=2k) alors 3x+5x²+7x^3+.........+a*x^(2k) est un entier pair pour tout x (avec "a" un nombre premier different des autres coefficients).
en effet si x est pair alors : 3x+5x²+7x^3+.........+a*x^(2k) est pair donc p est divisible par 2 et si x est impair alors chaque terme de 3x+5x²+7x^3+.........+a*x^(2k) est impair et on a un nombre pair (2k) de termes donc leur somme et bien paire d'ou p divisible par 2.

(on peut prendre p(x)=(8,11,31,5,7,....) et pour le terme constant il faut prendre une puissance de 2 ou un autre entier pair qui n'est divisible par aucun des autres coefficients).
pour le cas n impair :
p(x)=(4,3,5,7,11,13,17,19,......................) si x est pair
p(x)=(3,5,7,11,13,17,19,................) si x est impair
PS: toutes ces conditions sont suffisantes mais pas necessaires.

Dème0

De Passage, vous dites que "pour un degré (pair) donné , le nombre de polynomes verifiants ces proprietes est infini (resulte de l'infinitude des nombres premiers)".
Donc pour un degré (pair) donné "les valeurs de tout polynôme de degré pair seraient toutes des nombres non premiers"?
par exemple, je ne vois pas trop pourquoi P(x)=a^2*x^8+x+b^2 où aet b sont sont des entiers non nuls et x la variable (entière) auraient toutes ses valeurs des entiers non premiers .

de passage

pour le calcul de l'integrale voici un lien utile : <http://integrals.wolfram.com/index.jsp&gt; .
Je ne dis pas que tout polynôme de degré pair à coefficients entiers a toutes ses valeurs qui sont des nombres composés ( non premiers) mais ce que je dis est qu'il existe une infinité de polynômes dont les valeurs sont des nombres non premiers :
ex : 4+3x+5x² , 4+3x+7x² , 4+3x+11x², 4+3x+13x², 4+7x+5x² , 4+11x+5x², 4+13x+53x² , 4+3x+5x², 4+19x+5x², 4+23x+5x², 4+13x+17x² , 4+23x+37x² ...etc

Dème0

Mais y'a toujours le même problème que je vous ai fait remarquer:P(x) peut être pair et premier! Pour le polynome que vous venez de donner , il se peut que p(-1000)=2, p(-20001)=2 etc....Et dans le p(x) que vous avez exhiber serait en contradiction avec le fait que pour tout entier t , p(t) est non premier.

de passage

et pour p(x)=4+5x²+7x^4 ? tout est ok car il ne prend que des valeurs positives et il verifie les conditions.

Dème0

des idées se précisent pour moi grâce à nos échanges: puis-je affirmer que tous les polynomes à coefficients tous positifs et dont les degrés des monômes qui les composent sont tous pairs et en quantité (nombre de monômes) ayant même parité que la constante vérifient notre propriété?
Merci de faire avancer mes idées?
Que peut-on dire des autres cas ? La recherche continue! merci

vincent.0

p(x)=x^4 +4

p(x)=(x²+2)²-4x²
p(x)=(x²+2x+2)(x²-2x+2)

p(x) n'est pas premier pour x>1 donc p(x+2) non premier pour x entier positifs.

Vincent.

Dème0

On parle de tout x dans Z et pas seulement les positifs.
Par ailleurs comment prouvez-vous quep(x)=x^4+4 n'est jamais premier?

GERARD5

Pour Volny DE PASCALE : J'ai eu au départ la même réaction que toi, puis j'ai fini par comprendre la conception de Dème. Elle se conçoit.

Pour Dème : attention aux généralisations hâtives et aux inversions de sens des implications : " vous dites que "pour un degré (pair) donné , le nombre de polynomes verifiants ces proprietes est infini (resulte de l'infinitude des nombres premiers)".
Donc pour un degré (pair) donné "les valeurs de tout polynôme de degré pair seraient toutes des nombres non premiers"? "
Une infinité de polynômes ne veut pas dire TOUS les polynômes. De même : "puis-je affirmer que tous les polynomes à coefficients tous positifs et dont les degrés des monômes qui les composent sont tous pairs et en quantité (nombre de monômes) ayant même parité que la constante vérifient notre propriété?" Non, le fait d'avoir des exemples, même en quantité infinie ne prouve rien sur un cas général. En tout cas, la phrase mérite d'être précisée pour commencer à avoir un sens suffisament précis pour être démontrable. Par exemple :
les polynômes à coefficients entiers de la forme :
$\displaystyle P(x) = a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4 + ... + a_n x^{2n}$
dans lesquels $a_0>2$ et les autres $a_i$ sont impairs et strictement positifs, $a_0$ et n ont la même parité et les coefficients $a_i$ sont premiers entre eux,
ne prennent jamais de valeur première.

Cordialement

GERARD5

Dème : Ma formulation est fautive. Elle ne marche que pour n pair.

Volny DE PASCALE0

Pour Dème :

Vincent a factorisé le polynôme, en deux polynômes à coefficients entiers.

Il a donc écrit P(x) comme produit de deux entiers. P(x) n'est pas premier.

Des entiers pairs et premiers, il n'y en a pas beaucoup. Or on ne peut pas avoir une infinité de nombres qui ont la même valeur par un polynôme non constant. (Penser aux racines de P - k, si k est la valeur cherchée)

Amicalement
Volny

Dème0

Merci Volny (et tous les autres aussi!). C'est vrai que ça avance pour moi, en ce sens que grâce à nos échanges il semble qu'une certaine classe de p(x) à degré pair semble jouer le jeu (à confirmer).
On s'attaque au degré impair. Ca semble plus coriace !! Déjà pour 3 j'ai quelque chose qui semble être vrai (?) et c'est curieux je sais pas d'où ça tient :
tenez: p(x)=x^3-9x^2-52x+423 semble jouer le jeu :
-coefficients premiers entre eux
-jamais nul
-toujours non premier pour tout x (entir relatif).
Est-ce vrai ? Et si oui ça tient d'où ? Est-ce possile d'avoir de tels p(x) pour tout degré impair ?

de passage

9 et 423 ne sont pas premiers entre eux

de passage

sinon revenant a la possibilité p(x)=2 avec p l'un des polynomes donnés plus haut.
alors les eventuelles solutions (entieres) de cette equations doivent diviser 2(=4-2) et dans le cas general diviser(a0-2) donc €{-2,-1,1,2} et il suffit de remplacer pour constater que cela ne marche pas.

fb0

On peut prendre

$P(x) = (x-a)(x-a+1) + b$

avec $a \in \Z$ et $b \geq 4$ pair.

Le polynôme $P$ est unitaire, prend des valeurs paires $\geq 4$ aux entiers, donc n'est jamais premier aux entiers. De plus, il y a clairement un nombre infini de tels polynômes.

fb0

En degré 3 j'ai l'impression qu'on peut prendre

$P(x) = x^3+x+6$

En effet $P$ prend toujours des valeurs paires : il suffit donc de vérifier que $P$ ne prend pas la valeur $2$. Si c'était le cas on aurait $x(x^2+1) = -4$ ce qui est impossible pour $x \in \Z$.

Dème0

-à fb:votre polynome unitaire ne marche pas car p(a)=0; or p(x) ne doit s'annuler pour aucun entier(c'est un des critères de p(x)).

-à de passage: ce n'est pas seulement 9 et 423 qu'il faut prendre mais le pgcd de tous les coefficients de p(x); et dans l'exemple sur le quel vous êtes penchés les coefficients sont 1, -9, ...423; ils sont bien premiers entre eux. Dès qu'il y'a 1, il y'a primarité entre les coefficients.

On n'a pas encore une règle générale de fabrication ou de non fabrication de tels p(x) pour tout degré donné, notamment les degrés impairs!

fb0

Pour Dème : pourquoi $P$ ne marche-t-il pas? on a bien $P(a) = b$ qui est pair et $\geq 4$, donc non nul et non premier.

fb0

En tout degré $n \geq 2$ on peut faire la construction suivante

$P_n(x) = x^n + x + b$

où $b \in \Z$ est un entier pair. On remarque que $P_n$ est unitaire, et ne prend que des valeurs paires. Il suffit donc de vérifier que $P_n$ ne prend pas la valeur $2$. Si c'est le cas, on a $x^n+x = 2-b$ pour $x \in \Z$ c'est-à-dire que $2-b$ appartient à l'ensemble $F_n \subset 2\Z$ des valeurs prises par le polynôme $X^n + X$. Il suffit donc de choisir $b$ tel que $2-b \not\in F_n$, et le polynôme vérifiera la condition demandée. Il y a clairement un nombre infini de choix possibles pour $b$, puisque l'ensemble $2\Z \backslash F_n$ est infini.

Pour tout degré il y a donc un nombre infini de polynômes vérifiant la propriété demandée.

Remarque : on peut remplacer $X^n + X$ par n'importe quel polynôme unitaire de degré $n$ sans terme constant, et tel que la somme des coefficients soit paire.

Dème0

fb : Vous êtes en passe de résoudre de belle manière mon problème si ce n'est que si vous dites "Il suffit donc de choisir b tel que... , et le polynôme vérifiera la condition demandée".
Jje voudrais bien savoir pourquoi ce choix est toujours possible et comment concrètement vous vous y prenez pour trouver ce b (techniquement comment ça se passe).

Merci

fb0

L'argument que j'ai donné ne fournit pas un $b$ explicite, néanmoins on peut facilement le trouver au cas par cas. Je vais essayer de l'expliquer sur un exemple :

Pour $P_n(x) =x^n + x + b$ ($n \geq 2$), prenons $b=6$. L'équation $P_n(x) = 2$ se récrit sous la forme

$x(x^{n-1}+1) = -4$

ce qui entraîne que $x$ divise $4$ d'où $x = \pm 1, \pm 2, \pm 4$. On vérifie à la main en remplaçant que ce n'est pas possible.

Remarque : si $n$ est pair on peut donner un autre argument : en effet on a $x^n +x \geq 0$ pour tout $x \in \Z$, et donc l'équation $x^n + x = -4$ n'est pas possible (on voit même que tout $b$ pair $\geq 4$ fera l'affaire).

fb0

Dans le cas général, on peut utiliser l'argument suivant :

Si $x \in \Z \mapsto P_n(x) \in \Z$ est une fonction polynômiale de degré $n \geq 2$, alors elle ne peut prendre toutes les valeurs entières. Cela tient au fait que l'écart entre deux valeurs consécutives $P_n(x+1) - P_n(x)$ tend vers l'infini lorsque $x$ tend vers l'infini.

C'est cela qui fait que le choix de $b$ est toujours possible, comme je l'avais dit plus haut. Cependant, un tel choix n'est pas explicite.

Il serait intéressant de rajouter la condition $b$ impair dans ton problème (mais je pense que l'on va toujours pouvoir trouver des polynômes qui marchent)

fb0

Je précise : il serait intéressant de rajouter la condition "terme constant impair" dans ton problème

fb0

Voici une conjecture trouvée à l'adresse \lien{http://primes.utm.edu/notes/conjectures/}:

Si $a$, $b$, $c$ sont premiers entre eux, $a > 0$, avec $a+b$ et $c$ non tous deux pairs, et $b^2-4ac$ n'est pas un carré parfait, alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme $a n^2 + bn + c$.

Un cas particulier souvent cité de cette conjecture : il existe une infinité de nombres premiers de la forme $n^2 + 1$.

Il serait intéressant de formuler une telle conjecture en degré $\geq 3$...