]a,b] compact de R?

dadi

Je voudrais savoir si ]a,b] est un compact de R et pourquoi ?
J'ai essayé d'utiliser la définition avec les recouvrements. Je déduit que cet intervalle est compact, bizare !!

corentin0

Quelle est ta preuve ?
On pourrait te dire où est-ce que c'est faux.

Serge 2

Bonjour,
Pour quelle topologie ?

dadi

voila ce que j'ai fait
si ]a,b]= réunion infinie d'ouverts alors je peux en extraire une réunion finie qui recouvre ]a,b] donc ce dernier est compact. je me demande si j'ai fait une erreur

Serge 2

Quel est ce sous recouvrement fini ?

le dadaiste

Par exemple, prends l'union des An, avec epsilon >0

An = [a+ epsilon , b]

Il est clair que l'union des An pour tout epsilon positif strictement est égale à ]a,b].

Suppose que tu puisse trouver une sous famille finie de l'union des An, alors nécessairement tu auras si tu poses r= inf des epsilon

a+ r / 2 sera dans ]a,b], donc l'union finie des An n'est pas un recouvrement et donc on a trouvé un recouvrement infini dont on ne peut extraire un recouvrement fini et donc nécessairement ]a,b] n'est pas compact.

J'invite toutes les personnes douées en maths à me corriger.

Cordialement, le dadaiste

dadi

je couvre ]a,b] avec l'ouvert ]a-1,b+1[ par exemple.
je ne suis pas bon en topologie. je pense pas que c'est juste ce que j'ai ecrit

michal

Tu n'as pas démontré que de <B>tout</B> recouvrement on peut extraire un recouvrement fini.<BR>

Serge 2

Dans le théorème c'est pour tout recouvrement quelconque qu'il faut en extraire un fini.
On fixe un recouvrement quelconque et on travaille dessus.
Ou alors pour infirmer la compacité, on en prend un infini qui n'admet aucun sous recouvrement fini.
Un bon entrainement est de voir la démonstration de [a,b] compact avec les recouvrements. Je crois que ça utilise essentiellement la propiété de la borne supérieure. De bien meilleurs que moi me corrigeront si j'ai dit une bétise.

kieran1

On peut peut-etre utiliser le fait qu'en dimension finie (ici c'est le cas car]a;b] est inclus dans R ) les compacts sont les ensembles fermés et bornés??
]a;b] n'étant pas fermé, il n'est pas un compact.

bisam

De toute façon, même en dimension infinie, les compacts sont forcément fermés et bornés...

K0

je suis d'accord....

Ludovic

Encore faut-il avoir une distance sous la main (en dimension infini). Un fermé borné n'est pas nécessairement compact en dimension infinie. Exemple : un espace vectoriel borné est de dimension finie si et seulement la boule fermés de rayon 1 est compacte.