démos de Stone-Weierstrass

abed

Voilà, je m’intéresse au théorème de Weierstrass (approximation de fonctions continues par des polynômes) et j'aimerais faire le point sur les différentes démonstrations qui existent. Celles que j'ai déjà vues sont :

- On démontre d'abord Weierstass périodique (de diverses manières)
- On convole directement avec une bonne approximation de l’unité
- Polynômes de Bernstein
- On le déduit du théorème de Stone-Weierstrass (même si c'est un peu abusé)

Si vous connaissez d'autres démonstrations, merci d'avance.

Malek0

Bonsoir,
il existe une version p-adique du théorème de Weierstrass.
Malek

t1

Il y a aussi des développements intéressants de SW dans le livre de Rudin, analyse fonctionnelle. J'ai perdu ce livre de vue malheureusement, j'aimerais bien savoir s'il est encore édité.

SadYear

Le déduire de Stone-Weierstrass est un peu 'abusé' en effet : il me semble que la démo. de Stone-Weierstrass utilise le th. de Weierstrass. (?) C'est en tout cas le cas pour celle que je connais, mais cela dit, il en existe peut-être d'autres.

gnome

Il y a une autre démo de Stone-Weierstrass, qui utilise le théorème de Krein-Millman (et aussi Hahn Banach, je crois), qui est dans le bouquin de Conway : Course in Functional Analysis.

Sinon, pour Weierstrass, c'est possible d'approximer la fonction "racine carrée" par des polynômes, en déduire que l'algèbre des polynômes est stable par passage à la valeur absolue (le carré de la racine), puis au sup et à l'inf, (c'est un espace "réticulé", je crois que c'est la terminologie), et de conclure je sais plus trop comment (c'est dans le Hirsh-Lacombe : Elements d'Analyse Fonctionnelle).

aleg1

pour répondre à t1 :
<BR>non, le Rudin d'analyse fonctionnelle ne semble plus disponible dans le commerce (sauf en occasion peut-être, mais à mon avis, ceux qui, comme moi, ont jadis acheté ce bouquin l'ont certainement gardé...).
<BR>Ceci dit, l'édition en langue anglaise est toujours en vente (voir, par exemple,
<BR><a href=" http://www.amazon.co.uk/exec/obidos/ASIN/0070542368/qid=1145128692/sr=1-5/ref=sr_1_3_5/202-1829731-7780600"&gt; http://www.amazon.co.uk/exec/obidos/ASIN/0070542368/qid=1145128692/sr=1-5/ref=sr_1_3_5/202-1829731-7780600</a>)
<BR>mais à un prix qui n'est peut-être pas mérité...<BR>

corentin0

La méthode que je connais est celle de gnome. (qui me semble être Stone Weierstrass)

La conclusion ne se fait pas de manière évidente.
Si je note $f$ la fonction à approximer, on montre (facile) que pour $a,b\in K$, il y a une fonction $h_{a,b}$ de notre algèbre telle que $h_{a,b}(a)=f(a)$ et $h_{a,b}(b)=f(b)$.
On se fixe $\varepsilon >0$:
On introduit les ouverts $V_b=\{c\in \Omega:\ h_{a,b}(c)

t1

aleg:
Merci pour le lien, pour le prix je ne sais pas convertir les livres en euros. J'achète rarement un livre à plus de 200 euros, et je me fournis principalement chez Springer. Mais j'aimerais vraiment retrouver ce livre, surtout pour l'analyse harmonique dans les algèbres de Banach complexes.

Sisbai

Salut

Théorème de Fejer pour montrer que toute fonction continue sur un compact [a,b] est la limite unifome d'une suites de polynômes trigonométriques.
Ensuite on utilise le developpement en série entière de cos et sin pour approcher uniformement la fct pour une suite de polynômes.

a+

MEHDIhaj

Théorème :
Toute fonction continue f:[a,b]→C est limite uniforme d'une suite de polynômes.
Preuve :
Sans perte de généralités, on peut supposer [a,b]=[0,1] car on peut se ramener à cette situation à l'aide d'un changement de variable affine. Pour définir une suite de polynômes convergeant uniformément vers f, on introduit la famille des polynômes de Bernstein que nous allons présenter et dont nous allons souligner quelques propriétés.
Pour n∈N et k∈{0,…,n}, on pose
Bn,k(x)=(nk)xk(1−x)n−k.
On observe que
∑k=0nBn,k(x)=(x+(1−x))n=1.
De plus, puisque
k(nk)=n(n−1k−1) pour tout k≥1
on obtient
∑k=0nkBn,k(x)=n∑k=1nxBn−1,k−1(x)=nx.
Enfin, dans le même esprit, on montre encore
∑k=0nk2Bn,k(x)=∑k=0nk(k−1)Bn,k(x)+∑k=0nkBn,k(x)=nx(1+(n−1)x).
Considérons maintenant f:[0,1]→C une fonction continue.
Pour tout n∈N, introduisons la fonction polynomiale :
fn:x↦∑k=0nf(kn)Bn,k(x)
Nous allons établir que la suite des fonctions (fn) converge uniformément vers f.
Soit ε>0. Puisque la somme des polynômes de Bernstein vaut 1, on a pour tout x∈[0,1]
f(x)−fn(x)=∑k=0n(f(x)−f(k/n))Bn,k(x)
Puisque les polynômes Bn,k sont positifs sur [0,1], on a
|f(x)−fn(x)|≤∑k=0n|f(x)−f(k/n)|Bn,k(x) (*)
Puisque la fonction f est continue sur un segment, elle est uniformément continue et donc il existe α>0 tel que
∀x,y∈[0,1],|x−y|≤α⇒|f(x)−f(y)|≤ε
Formons alors les parties de 〚0,n〛 suivantes :
A={k∈〚0,n〛;|k/n−x|≤α} et B={k∈〚0,n〛/|k/n−x|>α}
La relation (*) donne alors
|f(x)−fn(x)|≤∑k∈AεBn,k(x)+∑k∈B|f(x)−f(k/n)|Bn,k(x) (**)
Or d'une part :
∑k∈AεBn,k(x)≤∑k=0nεBn,k(x)=ε
et d'autre part :
∑k∈B|f(x)−f(k/n)|Bn,k(x)≤2∥f∥∞∑k∈BBn,k(x)
Cependant
∑k∈BBn,k(x)≤∑k∈B(k−nx)2n2α2Bn,k(x)≤1n2α2∑k=0n(k2−2knx+n2x2)Bn,k(x)
et en vertu des calculs initiaux
∑k=0n(k2−2knx+n2x2)Bn,k(x)=nx(1−x)≤n
Par suite la relation (**) donne
|f(x)−fn(x)|≤ε+1nα2 puis ∥f−fn∥∞≤ε+1nα2
et donc pour n assez grand, on obtient
∥f−fn∥∞≤2ε.
Finalement, la suite de fonction (fn) converge uniformément vers f sur [0,1].
Rq :La démonstration se généralise à la dimension supérieure. En particulier, pour f:[0,1]2→C, il existe une suite de fonctions polynomiales de deux variables convergeant uniformément vers f.