caractérisation de Gamma

Bonjour,


Connaitriez vous un théorème ressemblant au suivant:

Il existe une unique fonction $f$,$C^1$, de $\R_+^*$ dans $\R$ vérifiant les conditions suivantes:

$(i)$ $f(n)=(n-1)!$, $\forall n \in \N$
$(ii)$ $f$ est log-convexe.

En fait ce serait donc la fonction $\Gamma$ ,est ce que ces 2 conditions suffissent à caractériser $\Gamma$?

Si oui où trouver ce théorème, si non comment construire d'autres fonctions satisfaisant ces conditions.

Merci

Réponses

  • Regarde dans le Chamber-Loire tome 2 d'Analyse, il me semble que c'est fait, si ma mémoire est bonne.... page 54 pour la 2ème édition (bon, ok, je suis allé vérifier !), et qui nous dit ceci :

    Soit f une fonction des réels strictement positifs dans eux-même vérifiant f(x+1)=xf(x), f(1)=1 et tel que log(f) soit convexe, alors f est la fonction Gamma d'Euler.

    Cordialement,

    Laurent
  • Merci beaucoup Laurent, en fait je connais ce théorème mais je voulais juste savoir si les conditions que j' ai énoncé suffisent , c'est à dire juste $f(n)=(n-1)!$.
  • bonjour

    lnf fonction convexe? il me semble que la condition: f fonction convexe suffit

    cordialement
  • C'est fait dans le Rudin p.94 il y a 3 conditions :
    (i) $f(x+1)=x f(x)$
    (ii) le domaine de définition contient $\R^+^*$ et f est log convexe
    (iii) f(1)=1

    Bon week-end.
  • Désolé, j'avais mal lu ta question. Mais je suis vraiment pas convaincu par ce que tu annonces.
  • Oui moi non plus je suis pas trop convaincu, en fait c'est Séb qui pense que cela peut marcher, mais j' y crois pas trop on cherche un contre exemple...
  • Bonjour,

    Aucune chance pour que cela marche. La convexité est une notion assez rigide, mais pas au point de déterminer une fonction dont on fixe simplement les valeurs aux bornes d'un intervalle !

    Glop
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