resolution d'un système incomplet

Sasha1

Bonjour,

J'aimerai résoudre un système de la forme


$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
g(x_1)&=&a(x_1)f(x_1)+b(x_1)h(x_1) \\
g(x_2)&=&a(x_2)f(x_2)+b(x_2)h(x_2),
\end{array}
\right.
$$
où $a$ et $b$ sont des fonctions connues, les valeurs $g(x_1)$ et $g(x_2)$ sont connues et les inconnues sont $f(x_i)$ et $h(x_j)$, $i,j=1,2$. Cela fait donc 4 inconnues pour deux équations.

Cependant, en ajoutant des hypothèses de régularité sur les fonctions présentes, est-il possible d'approcher la solution en ajoutant les lignes suivantes :
$$
(2g(x_1)+g(x_2))/3=a((2x_1+x_2)/3)\times (2f(x_1)+f(x_2))/3 + b((2x_1+x_2)/3)\times (2h(x_1)+h(x_2))/3
$$
et
$$
(g(x_1)+2g(x_2))/3=a((x_1+2x_2)/3)\times (f(x_1)+2f(x_2))/3 + b((x_1+2x_2)/3)\times (h(x_1)+2h(x_2))/3,
$$
où alors c'est completement stupide ?

Merci et bonne journée !

Eric Lafosse2

Je ne comprends pas bien ton type de système. Pourrais-tu en donner un exemple, s'il te plaît?

GERARD5

A vue de nez, ça ne donne rien, car tu rajoutes deux équations, mais encore 4 inconnues.
A moins que les fonctions f et h soient particulières (par exemple afines), et que les valeurs de f et h en x1 et x2 permettent de calculer les valeurs de f et h ailleurs.

Cordialement

Sasha1

Je précise que c'est une approximation. La seule donnée réelle est le premier système avec deux equations et 4 inconnues. Mais si je suppose que $g$, $f$ et $h$ sont suffisament régulière (continues et pas trop de "sauts"), alors je peux assimiler $f((2x_1+x_2)/3$ ($f$ évaluée en un point proche de $x_1$) à $(2f(x_1)+f(x_2))/3$. C'est un nouveaux système dont les solutions sont différentes (sauf si les fonctions sont affines), mais qui devraient ne pas être trop loin de la réalité.

Je resume : si les fonctions sont régulières, alors les deux equations que je rajoute doivent être "presque" vraies, non ?

Je ne peux pas trop préciser dans quel cadre je me place, mon problème est tel quel

Je ne pourrai pas répondre rapidement, il est 19:20 chez moi et je vais dinner !

Bon après-midi et merci !

GERARD5

La supposition que tu fais revient à supposer les fonctions considérées comme affines sur l'intervalle. Si elles le sont, les 2 nouvelles équations sont des conséquences des deux premières. On ne trouve pas g et h. Et si elles ne le sont pas, le système que tu proposes donne des solutions qui dépendent très fortement de la différence entre tes fonctions et une fonction affine. Mais alors le résultat est très aléatoire, dépend très fortement des circonstances, donc n'a aucune raison d'être proche du bon résultat (Pense à l'exemple de la droite tracée à la règle par 2 points très proches, sa direction est plus dépendante du traceur que des points effectifs).

Cordialement

Gecko

si tu connais une solution particuliere de ce systeme

Tu pourrais utiliser le theoreme des fonctions implicites (si la systeme est au moins de rang 1 , ou le téoreme d'inversion locale si le systeme est de rang,
en "linéarisant autour de ta solution)

Sasha1

$g$, $f$ et $h$ sont des fonctions pas trop méchante, donc une approximation par une droite doit suffire (j'espere !).

Si elles sont affines, alors non ce n'est pas une conséquence des deux premieres équations, à cause des fonctions $a$ et $b$ (en fait $a=\cos$ et $b=\sin$).

Je ne connais aucune valeurs particulières de $f$ et $h$. Quelles solutions me reste-t-il

Sasha1

je me permets de remonter ce post, pardonnez-moi cette impolitesse !

t1

bonjour


Le problème est que
(ab+2cd)/3 n'est pas égal à (a+2c)/3*(b+2d)/3
Alors je ne vois pas comment sauver ton idée.
Il vaudrait mieux que tu partes d'une équation algébriquement correcte, mais je crois bien que ce genre de choses se fait.

raouf0

les deux eqations de votre systéme sont linéiarement indépondente.

pour avoir un systéme : g(x1)=a(x1).f(x1)+b(x1).h(x2)_____1
g(x2)=a(x2).f(x1)+b(x2).h(x2)______2

maintenent pour résoudre ce systeme on travaillie dans l'espace matriciel ou tout simplement fair
f(x1)=[g(x1)-b(x1).h(x2)] /a(x1). ___3
3 dans 2 on trouve
g(x2)=(a(x2)/a(x1)).(g(x1)- b(x1).h(x2))+b(x2).h(x2).

donc~
[b(x1).a(x2)/a(x1)-b(x2)].h(x2)= (a(x2)/a(x1)).g(x1)-g(x2)

h(x2)=[(a(x2)/a(x1)).g(x1)-g(x2)].[a(x1)-b(x2)]/[b(x1).a(x2)].

on rempaçons la valeur de h(x2) dans 3 on trouve la valeur de f(x1)

Sasha1

je ne vois pas d'où viennent les deux première équations ?