nature d'une intégrale

Salut,

mon td me propose de discuter selon $\alpha,\beta\in\R$ et $a>0$ la nature de l'intégrale:
$$\int_{a}^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha(logt)^\beta}$$
ça me pose beaucoup de mal.
merci de ton aide
med

Réponses

  • C'est pas plutôt $a>1$?
    Sinon ton $log^{\beta}$ n'est pas forcément défini.
  • Salut Corentin,

    Mon exercice ne donne aucune information sur le a, et c'est cela qui dérange le plus!

    med
  • en fait, le a>0 non pas >1, je suis arrivé à faire partiellement cette exo, et j'attents tjs de l'aide!

    merci

    med
  • si $a>1$ tu sait le faire?
    sinon pour l'autre cas il faudrait penser a un équivalent de log en1
  • Salut Gecko,
    Voilà ce que j'ai fait:

    je pose: $u=logt$ ce qui me donne:
    $$\int_{a}^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha(logt)^\beta}=\int_{loga}^{+\infty}\frac{e^{(1-\alpha)u}}{u^\beta}dx$$
    les cas:
    1) si $\alpha0$, l'intégrale diverge.
    2) si $\alpha0$ on a $a>1$, l'intégrale diverge.
    3) si $\alpha\geq1,\beta>0$ on a $a>1$, l'intégrale converge.
    4) si $\alpha\geq1,\beta0$, l'intégrale converge, en effet, exponentielle domine les polynôme, mais c'est pas suffisant comme réponse, si vous pouvez me la le justifier ce dernier cas 4), alors un grand merci à vous.

    med
  • il fallait $du$ à la place de $dx$ dans la première équation,
    si un modérateur le répare alors, un grand merci à lui.

    pardon

    med
  • Salut Gecko,
    Voilà ce que j'ai fait:

    je pose: $u=\log t$ ce qui me donne:
    $$\int_{a}^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha(\log t)^\beta}=\int_{\log a}^{+\infty}\frac{e^{(1-\alpha)u}}{u^\beta}du$$
    les cas:
    1) si $\alpha0$, l'intégrale diverge.
    2) si $\alpha0$ on a $a>1$, l'intégrale diverge.
    3) si $\alpha\geq1,\beta>0$ on a $a>1$, l'intégrale converge.
    4) si $\alpha\geq1,\beta0$, l'intégrale converge, en effet, exponentielle domine les polynôme, mais c'est pas suffisant comme réponse, si vous pouvez me la le justifier ce dernier cas 4), alors un grand merci à vous.

    med
  • Il y a toujours un problème: si <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="41" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/13/84828/cv/img1.png&quot; ALT="$ a<1$"></SPAN>, on peut avoir <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="75" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/13/84828/cv/img2.png&quot; ALT="$ log(x)<0$"></SPAN>, et la puissance non entière d'un nombre négatif n'a a priori aucun sens.<BR>
  • Prenons a=0.
    l'intégrale converge en $\infty$ ssi $\alpha$>1 ou ($\alpha$=1 et $\beta$>1) et converge en 0 ssi $\alpha$
  • Prenons a=0.
    l'intégrale converge en $\infty$ ssi $\alpha$>1 ou ($\alpha$=1 et $\beta$>1) et converge en 0 ssi $\alpha$
  • Salut à vous tous

    Oui Corentin, vous avez raison, le a doit être >1, si non mon 1) et 4) ne seront pas forcément validés.
    le 1) 2) 3) je trouve que c'est évident, mais pour le 4) me satisfaire de dire que exponentielle domine les polynômes ne me plait pas beaucoup, c'est pourquoi, j'attends toujours de l'aide en ce point.

    Merci beaucoup
    med
  • bonjour med,

    je pense que l'idée est la suivante :

    comme l'exp domine les polynômes, tu peux en "factoriser une partie" ($e^x = e^{x/2} e^{x/2}$) dont l'intégrale convergera et la "partie restante" continuera de dominer le polynome donc sera en particulier bornée au voisinage de l'infini

    cordialement,
    ed
  • bonjour med,

    je pense que l'idée est la suivante :

    comme l'exp domine les polynômes, tu peux en "factoriser une partie" ($e^x = e^{x/2} e^{x/2}$) dont l'intégrale convergera et la "partie restante" continuera de dominer le polynome donc sera en particulier bornée au voisinage de l'infini

    cordialement,
    ed
  • Je me suis trompé, il ne faut pas prendre a=0 mais a=1, et effectivement votre raisonnement est correct.
  • t1 :
    je crois qu'on considère en général les 2 types d'intégrales ($\int_0^a$ avec 0 < $a$ < 1 et $\int_a^\infty$ avec $1 < a$), mais les domaines de cv sont dijoints.

    med :
    attention au cas où $\alpha = 1$ dans lequel l'exp disparait...

    cordialement,
    ed
  • Cela n'a pas de sens quand le log figure dans l'intégrale. S'il n'y a que la puissance de t je crois qu'on peut recoller les morceaux avec les valeurs principales de Cauchy, mais je confonds peut-être.
  • t1 :
    j'ai été un peu vite, les domaines de cv ne sont pas dijoints, pour $\alpha = 1$ et $\beta > 1$ les 2 types convergent

    ed
  • t1 :

    effectivement, le 2ème type est $\int_0^a t^\alpha |\log t|^\beta dt$, autant pour moi

    ed
  • Tu es allé très vite pour te rectifier, alors je ne te fais pas de reproche. Mais je crois que l'on n'a jamais à la fois la convergence en 1 et en $\infty$, parce que les conditions sont contraires. Et si tu mets les choses au numérateur la condition s'écrit $\alpha$>-1, etc. Mais je suppose que c'est ce que tu voulais dire.
  • Tu es allé très vite pour te rectifier, alors je ne te fais pas de reproche. Mais je crois que l'on n'a jamais à la fois la convergence en 1 et en $\infty$, parce que les conditions sont contraires. Et si tu mets les choses au numérateur la condition s'écrit $\alpha$>-1, etc. Mais je suppose que c'est ce que tu voulais dire.

    Il faudrait qu'un modérateur fasse le ménage dans mes 2 derniers posts.
  • desole, ce n'est effectivement pas très clair et plein de coquilles. Je vais essayer de synthétiser :

    pour a > 1
    $\int_a^\infty \frac{dt}{t^\alpha (\log t)^\beta}$ cv ssi $(\alpha > 1$ ou $(\alpha = 1$ et $\beta > 1))$

    pour 0 < a < 1
    $\int_0^a \frac{dt}{t^\alpha |\log t|^\beta}$ cv ssi $(\alpha < 1$ ou $(\alpha = 1$ et $\beta > 1))$

    les 2 types convergent donc simultanément pouru $\alpha = 1$ et $\beta > 1$.
  • Je ne suis pas d'accord avec ta dernière condition sur $\beta$: si $\alpha$=1, comme dt/t est invariant par t->1/t, log(1/t) peut être remplacé par log(t) si on inverse également le domaine d'intégration, et on tombe dans l'autre cas et la condition doit être $\beta$
  • t1 :

    dans la 2ème intégrale, posant $u = \log (1/t)$ (pour virer la valeur absolue) on obtient $du = - dt / t$ et on a donc :

    $\int_0^a \frac{dt}{t^\alpha |\log t|^beta} = \int_{+\infty}^{\log (1/a)} - \frac{du}{u^\beta} = \int_{\log (1/a)}^{+\infty} \frac{du}{u^\beta}$

    cette dernière intégrale converge bien ssi $\beta > 1$

    ed
  • t1 : je me suis évidemment placé dans le cas $alpha = 1$...

    ed
  • Si a>1, le changement de variable $u=logt$ donne:\\
    $$\int_{a}^{+\infty}\frac{dt}{t(logt)^\beta}=\int_{loga}^{+\infty}\frac{du}{u^\beta}$$\\
    Qui se calcule explicitement, et on est ramené à la convergence en 0 (log a->0) d'une intégrale de puissance, soit 1-$\beta$>0.
  • t1 :
    le pb de cv est en $\infty$, pas en 0, donc cv ssi $\beta > 1$ non ?

    ed
  • Je rectifie, je parle ici seulement de la convergence en 1, alors on peut laisse tomber le côté infini: je remplace +$\infty$ par un nombre A, et tout ce qui s'ensuit. Mais je maintiens que la condition de convergence en 1 est $\beta
  • t1:

    desole, je n'avais pas compris : je n'étudie jamais la cv en 1. Dans le 1er type, c'est la cv en l'infini qui m'interesse, dans le 2d type, c'est celle en 0, car 1 est toujours exclu des bornes.

    pour ce qui est de la cv en 1, tu as raison, il n'y a convergence que si $\beta < 1$, mais je ne m'étais pas placé dans ce cas là.

    ed
  • Effectivement, on ne parlait pas de la même chose. Je considérais a comme un point qui tend vers1, et je ne m'occupais pas du comportement en 0: il semble que le calcul se ramène au cas de la borne infinie, comme tu l'as fait.
  • t1 :
    pour synthétiser nos raisonnements :

    $\int_1^\infty \frac{dt}{t^\alpha \log^\beta t}$ converge simultanément en 1 et $\infty$ ssi $\alpha > 1$ et $\beta < 1$, je pense que ce doit être correct...

    cordialement,
    ed
  • En fait non, les conditions sont
    convergence en +$\infty$ ssi ($\alpha>1$ ou ($\alpha=1$ et $\beta>1$)
    convergence en 1 ssi ($\alpha
  • je ne crois pas qu'il y ait de condition sur $\alpha$ pour la convergence en 1, il suffit que $\beta < 1$ :

    $\int_1^A \frac{dt}{t^\alpha \log^\beta t} = \int_0^{\log A} \frac{du}{e^{u (\alpha - 1)}u^\beta}$ et cette intégrale converge en 0 ssi $\beta > 1$ (quelle que soit la valeur de $\alpha$)

    cordialement,
    ed
  • je voulais écrire $\beta < 1$, desole
  • Oui, tu as raison: au voisinage de 1 c'est le log qui l'emporte sur la fonction puissance, donc la condition de convergence doit être

    $\beta$
  • desole d'insister (j'espere pas trop lourdement), mais il *n'y a pas* de condition sur $\alpha$ pour la cv en 1, il faut et il suffit que $\beta < 1$

    cordialement,
    ed

    ps : j'essaie simplement d'éviter aux d'autres les erreurs que j'ai déjà commises...
  • Effectivement. Merci d'avoir insisté. Je suis d'accord avec ta CNS.
  • pas de quoi, ça m'a éclairci les idées à moi aussi ! ;-)

    ed
  • Merci à vous tous,

    med
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