nature d'une intégrale

Salut,
Je bloque depuis pas mal du temps dans une question en td:
quelle est la nature (cv ou dv) de l'intégrale suivante:
$$\int_{0}^{1}\frac{ln(1-t^2)}{t^2}dt$$
merci de ton aide
med

Réponses

  • Bonsoir Med

    Cela ne répond pas directement à ta question, mais dérive $\dfrac{\ln(1-t²)}{t}$, cela te permettra de calculer ton intégrale et de voir sa limite en 0 et en 1

    Alain
  • bonjour

    l'intégrale est bien convergente: elle est égale à -2ln2

    tu fais un changement de variable: u=1/t et donc du=-dt/t²

    I=intégrale de 1 à l'infini de ln(1-1/u²).du soit

    intégrale de [ln(u+1)+ln(u-1) - 2lnu]du soit

    [(u+1)ln(u+1) - u + (u-1)ln(u-1) - u - 2(ulnu-u)] à prendre entre 1 et l'infini

    pour l'infini la limite de l'expression entre crochets est nulle en effet

    2ulnu - (u+1)ln(u+1) - (u-1)ln(u-1) est équivalent en l'infini

    de 2ulnu-2ulnu dont la limite est ln1

    et finalement dans l'intégrale initiale pour la borne 1 il reste -2ln2


    cordialement
  • Pour être plus clair si tu es en prépa, on attend de toi de montrer la CV avant de te lancer dans le calcul.

    En 0, ln(1-t²)/t² tend vers -1 donc c'est une fausse singularité (prolongement de la fonction par continuité)

    En 1, ta fonction équivaut à ln(1-t) négilgeable devant 1/racine(1-t) d'intégrale convergente sur [0,1[.

    L'intégrale est CV
  • je voulais plutôt montrer la convergence sans faire un calcul direct, ce dernier a été bien fait par Jean, sauf entre les bornes ça donne -ln2 non pas -2ln2.
    Je crois que j'ai pu montrer indirectement la convergence de I, voilà:
    en remarquant simplement que dans ]0,1] on a:
    $$0\geq\frac{ln(1-t^2)}{t^2}\geq\frac{ln(1-t)}{t}\geq ln(1-t)$$
    en introduisant l'intégrale on aura:
    $$I\geq\int_{0}^{1}ln(1-t)dt=\int_{0}^{1}ln(u)dt=-1$$
    donc la convergence est bien assurée.

    et merci à vous tous.

    med
  • L'autre methode que j'ai pense:

    ln(1-t^2)=-S(n=1-->l'infini)t^2n/n

    et, ln(1-t^2)/t^2=-S(n=1-->l'infini)t^(2n-2)/n

    donc, Int(n=0-->1)ln(1-t^2)/t^2=-S(n=1-->l'infini){Int(n=0-->1)t^(2n-2)/n}

    Int(n=0-->1)t^(2n-2)/n
    =2*Int(n=0-->1)t^(2n-2)/2n

    alors, Int(n=0-->1)t^(2n-2)/2n=[t^(2n-1)/2n(2n-1)](0-->1)=1/(2n-1)-1/2n

    donc, -S(n=1-->l'infini){Int(n=0-->1)t^(2n-2)/n}
    =-2{1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...}

    Parce qu'on sait {1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...} est égale à ln(2),

    En conclusion, Int(n=0-->1)ln(1-t^2)/t^2 est égale à -2*ln(2).

    cordialement.
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