int(1/(1+x^a))dx

Salut,
J'ai consacré pas mal du temps à chercher une méthode générale pour calculer $\int\frac{dx}{1+x^a}$ où $a\in\R$, mais en vain, sauf pour les cas évidents $a=-1;0;1;2$, donc je fais appel à ton aide.
merci

Réponses

  • Je pense qu'il faut voir avec la décompo en éléments simples de la fraction, ce cas est d'ailleurs traité dans le Monier analysempsi il me semble.

    Cordialement, le dadaiste
  • Bonjour,

    Sauf pour certaines valeurs particulières du paramètre a (entiers par exemple), cette intégrale ne s'écrit pas avec les fonctions élémentaires en nombre fini.
    On peut l'exprimer analytiquement avec la fonction spéciale "Beta incomplète" (formule jointe)4199
  • Salut, ben les fonctions spéciales me gêne toujours, est-ce qu'il s'agit de fonctions inventées comme le logarithme néperien, ou quoi?

    Pour mon intégral, j'ai essayé de faire une approche par le dévemoppement infini de la fonction $\frac{1}{1+x^a}$ au voisinage de $x^a=0$, je trouve:
    $$\frac{1}{1+x^a}=1-x^a+x^{2a}-x^{3a}+x^{4a}+....+(-1)^{p}x^{pa}+...$$
    que j'intégre:
    $$\int\frac{1}{1+x^a}dx=x-\frac{x^{a+1}}{a+1}+\frac{x^{2a+1}}{2a+1}-....+(-1)^{p}\frac{x^{pa+1}}{pa+1}+...$$
    donc:
    $$\int\frac{1}{1+x^a}dx=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2ai+1}}{2ai+1}-\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{(2i+1)a+1}}{(2i+1)a+1}$$
    si j'intégre par exemple sur l'intervalle $[0,1]$ j'obtient:
    $$\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^a}dx=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{2ai+1}-\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(2i+1)a+1}$$
    cette somme est-elle calculable?
    Prière à me corriger.
    Merci
  • Il y aurait quelques précautions à prendre dans vos développements en série pour ne pas tomber sur deux séries individuellement non convergentes.
    Mais, sous réseve de ces précautions, c'est ainsi que sont calculées de nombreuses fonctions spéciales : définies soit par des intégrales, soit en tant que limite de série.
    Dans votre exemple (avec les bornes d'intégration 0 et 1), il y d'autres moyens pour calculer l'intégrale (méthode des résidus par exemple).
  • Pour a entier strictement plus grand que 1, on a avec la méthode des résidus :
    <BR><P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="188" HEIGHT="75" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/8/84320/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{1 + x^a }}} dx = \frac{\pi }{{a*\sin (\frac{\pi }{a})}}
    \newline $"></DIV><P></P><BR>
  • Je ne sais toujours pas si ce que j'ai fait là-dessus est juste ou non ?
    Pour ne pas perdre la direction, restons pour le moment dans l'intervalle [0,1], pouvez-vous m'expliquer un peu la méthode des résidus, ou simplement m'envoyer vers un lien qui la traite, afin que je puisse être à l'image de cette méthode.
    Merci
    med
  • Bonjour,

    Med, comme le fait remarquer JJ, il y a un problème car les deux séries dont tu prends la différence ne sont pas convergentes.

    Pour la méthode des résidus, il te faut connaître des choses sur les fonctions de variable complexe (si tu veux t'y mettre, il y a un excellent cours en ligne sur le site de Jean-François Burnol).

    En fait j'ai l'impression que l'égalité donnée par yoann2 est valable pour $a>1$, (et donc même pour $Re(a)>1$).
  • Bonjour,

    Yoann2 a fait le calul dans le cas des bornes d'intégration 0 à +infini.
    Par contre, dans le cas 0 à 1, il semble que la méthode des résidus ne soit pas si simple. On n'échappe pas à une fonction spéciale, ou une série infinie. Le calcul peut être fait par la série convergente indiquée en page jointe.4202
  • Je vous remercie tous, quand je serai plus prêt à parler des fonctions spéciales, je vais certainement poser de telles questions.

    Bon weekend
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