algèbre

nico8

Salut à tous,

je me posais la question suivante

on se place dans un monoïde $(M,*)$ (associatif+neutre $e$)

est ce que la condition $x^n$ inversible implique $x$ inversible. Par exemple pour $n=2$?

Les exemples connus semble dire que la réponse est affirmative (matrices, fonctions de $X$ dans $X$ etc)

pourtant j'ai l'impression que c'est faux....

klabouny

On a
$x^na=x(x^{n-1}a)$
ou quelquechose m'échappe ?

Toto.le.zero

C'est vrai.
x^n.y=e implique x.(x^(n-1).y)=e par associativité.

nico8

Oui mais pour avoir inversible il faut

$x(x^{n-1}a)=(x^{n-1}a)x=e$

(la loi n'est pas commutative)

comment faire?

Volny DE PASCALE0

N'est ce pas la même méthode ?

$x^ny=x(x^{n-1}y) et yx^n=yx{n-1}x$

Ce qui nous assure de l'existence d'un inverse à droite et à gauche.

Et il me semble qu'un résultat nous dit que si il existe un inverse à droite et à gauche ce sont les mêmes, non ? (là, j'ai comme un doute...)

Amicalement
Volny

Volny DE PASCALE0

N'est ce pas la même méthode ?

$x^ny=x(x^{n-1}y)$ et $yx^n=yx^{n-1}x$

Ce qui nous assure de l'existence d'un inverse à droite et à gauche.

Et il me semble qu'un résultat nous dit que si il existe un inverse à droite et à gauche ce sont les mêmes, non ? (là, j'ai comme un doute...)

Amicalement
Volny

(et j'ai encore confondu envoyer et aperçu)

OlivierG0

Pour Volny : oui, c'est bien le cas.
En effet, si $x*u=e$ et $v*x=e$, alors : $u=e*u=(v*x)*u=v*(x*u)=v*e=v$, donc $x$ est inversible.

Amicalement.
Olivier.

nico8

merci pour votre réponse... mais maintenant j'ai un doute sur cette propriété:

si $x$ possède un inverse à droite et à gauche alors ils sont égaux.

effectivement, cela me rappelle quelque chose...

GG7

oui,
x' x = e
x x" = e
x'xx" = x'e = x' = ex" = x"

nico8

OK, merci!!!