Ln(3)

f jaclot0

Bonsoir,
<BR>
<BR>Je cherche la démonstration la plus courte possible de : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="173" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/6/84225/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_0^1 \frac{ \mathrm dx}{\sqrt{1-x+x^2}} = \ln(3) $"></DIV><P></P>Peut-on y arriver sans passer par <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="65" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/6/84225/cv/img2.png&quot; ALT="$ \arcsin(x)$"></SPAN> ?
<BR>Merci d'avance.
<BR>fjaclot;<BR>
<BR><BR>[Corrigé selon tes indications. AD]

Toto.le.zero

Résidus ?

f jaclot0

Erreur d'enonce : le deominateur est :


(1-x+x^2)^(1/2)

fjaclot;

Alain Debreil

Bonsoir,

Je cherche la démonstration la plus courte possible de : $$ \int_0^1 \frac{ \mathrm dx}{\sqrt{1-x+x^2}} = \ln(3) $$ Peut-on y arriver sans passer par $\arcsin(x)$ ?
Merci d'avance.
fjaclot;

bisam

De toute façon, c'est argsh et non arcsin qui est en cause...

jean Lismonde0

bonjour

tu peux utiliser le résultat classique du calcul intégral (avec x en dehors de l'intervalle [a;b]):

primitive de dx/rac[(x-a)(x-b)] = k + ln{2x-a-b+2rac[(x-a)(x-b)]}

ici x²-x+1=(x+j)(x+j²) avec j et j² les racines cubiques complexes de 1

ton intégrale I devient (la condition x en dehors de [a;b] ne joue pas puisque a et b sont complexes) :

ln{2x+j+j²+2rac[x²-x+1)]}à prendre entre 0 et 1

soit encore (puisque j+j²=-1)

I = ln(1+2) - ln(-1+2) soit ln3

cordialement

Richard André-Jeannin2

Un peu dans le même genre que Jean,on peut vérifier que la dérivée de
Ln[2x-1+2*racine(x²-x+1)] est justement la fonction à intégrer, d'où le résultat.

f jaclot0

Merci a RAJ et a JL.

fjaclot;